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测电源电动势和内电阻实验的系统误差分析
用电流表和电压表测电源电动势和内电阻的实验是高中物理的一个重要实验，也是恒定电流一章的难点。同学们对教材中所给的测量电路图体会不深，认为把电流表放在干路中（如图一所示）和放在滑动变阻器的支路中（如图二所示）效果是一样的。下面我们从两种实验方法所产生的系统误差角度来加以论述。由于同学们的知识所限，课堂上一般采用定量计算的方法和用图象进行定性分析的方法，对于参加过竞赛培训的同学还可以用戴维宁定理（等效电压源定理）来定量分析。
1．定量计算的方法 设电源的电动势和内电阻的真实值分别为?和r，电源的电动势和内电阻的测量值分别为??和电流表和电压表的内阻分别为RA和RV。滑动变阻器从右向左移动，得到的两组示数分别为（U1，r?。
I1）和（U2，I2）。 对于图一所示电路： 如果不考虑电压表和电流表的内阻，由全电路欧姆定律有： ??U1I2?U2I1???I2?I1????U1?I1r??解得：这就是电动势和内电阻的测量值。 ??????U2?I2r??r??U1?U2?I2?I1?图一 图二 如果考虑电压表和电流表的内阻，由全电路欧姆定律有： ?????U1I2?U2I1????I2?I1?(U1?I1RA)?I1r?解得：?这就是电动势和内电阻的真实值。 ?(U2?I2RA)?I2r?r?U1?U2?RA?I2?I1?由此可见：????，r??r?RA。也就是说测得的电动势是准确的；测量值r?的相对误差为
?r?r??rRA?。由于实验设备所限，电源内电阻r和电流表的内阻RA的阻值差不多，这样内电rr阻就会有很大的相对误差。所以我们不采用这种测量方法。
对于图二所示电路：
如果不考虑电压表和电流表的内阻，由全电路欧姆定律有：
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??U1I2?U2I1?????I2?I1???U1?I1r?解得：这就是电动势和内电阻的测量值。 ????U?U2???U2?I2r?r??1?I2?I1?如果考虑电压表和电流表的内阻，由全电路欧姆定律有：
?????????U1I2?U2I1????U1U2?U1?U1?(I1?)rI?I??21RVRV?解得：?这就是电动势和内电阻的真实值。 U2U?U12?r??U2?(I2?)rU2?U1?RVI?I?21?RV?U2?U1?0，因此：????，r??r。也就是说测得的电动势和内电阻都是偏RV因为U1?U2，所以小的。它们的相对误差分别为： ?r?U2?U1r??rr其中RV??r(I2?I1)RVRV?rr，所以两者的相对误差都很小。我们采用的就是这种测量电路测量电源的电动势和内电阻。 2．用图象定性分析 对于图一所示电路： 测出几组U、I值，然后在U-I坐标系中描点并连线如图中线所示。直线与U轴的交点表示电源电动势的测量值，直线斜率的绝对值表示内电阻的测量值。由于电流表的分压作用，对于某一组具体的（U1?，I1?），电流表测得电流I1?就是流，而电源的路端电压比电压表测得的U1?略U1?U1??I1?RA关系，可见I?越大，?U?U?U?通过电源的电U 大，满足越大；I?越小，
?U?U?U?越小，特别的当I??0时，?U?U?U??0。对每一个点进行修正，每值不变，电压值适当调整变大，而且当电流的调整量也越大。
下面来证明经调整的点仍位于一条直线 原来的点满足关系：U?????I?r
一个点的电流值越大，对应I
上（线形的）。
经过修正的点满足关系U??U?U?????I?r?I?RA可见，U和I?仍然是一次函数的关系，也就
是说它们仍将位于同一条直线上。
把经过修正的点连接起来，如图中线所示。这样直线与U轴的交点表示电源电动势的真实值，图线斜率的绝对值表示内电阻的真实值。可见，用图一所示电路测得的电动势的值是准确的，测得
的内电阻是偏大的。
对于图二所示电路：
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测出几组U、I值，然后在U-I坐标系中图中线所示。直线与U轴的交点表示电源电值，直线斜率的绝对值表示内电阻的测量表的分流作用，对于某一组具体的（U1?，测得电压U1?就是电源的路端电压，而通过电流表测得的I1?略大，满足I1?I1??U1?关RVU 描点并连线如动势的测量值。由于电压
I1?），电压表
电源的电流比系，可见U?越
大，?I?I?I?越大；U?越小，?I?I?I?越小，特别的当
修正，每一个U??0时，?I?I?I??0。对每一个点进行I 点的电压值不变，电流值略微变大，而且当电压值越大，对应的调整量也越大。证明调整过的点位于同一条直线上的方法如上面所述。把经过修正的点连接起来，如图中线所示。这样直线与U轴的交点表示电源电动势的真实值，图线斜率的绝对值表示内电阻的真实值。可见，用图二所示电路测得的电动势和内电阻都是偏小的。 3．用等效电压源定理（戴维宁定理）来分析 利用等效电压源定理常可将电路简化，从而使计算得以简洁。等效电压源定理表述为：两端有源网络可等效为一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，内阻等于从网络两端看除源(将电
动势短路)网络的电阻。 对于图一的电路： 可以把电源和电流表看成一个整体，这样测体的端电压和通过这个整体的电流，计算出的就动势和这个整体的内电阻。根据戴维宁定理，这相当于开路时的路端电压，也就是这个电源本身整体的电阻就是电源和电流表的电阻之和。即：误差分析同方法1。 对于图二的电路： 可以把电源和电压表看成一个整体，这样测得的端电压和通过这个整体的电流，计算出的就是这和这个整体的内电阻。根据戴维宁定理，这个整体开路时电压表所分得的电压，整体的电阻相当于电的阻值。即：
RV??????R?r?V ?Rr?r??V?RV?r?得的就是这个整是这个整体的电个整体的电动势的电动势；而这个????? ???r?r?RA的就是这个整体个整体的电动势的电动势相当于源和电压表并联
?????显而易见：?
?r?r??????r??????RV?r?也很轻易就能计算出来。 ?????r?r?rr?rRV?r?精心整理
在按上述方法进行实验和分析后，绝大多数学生都能很好地理解该实验的系统误差，掌握减小误差的方法，并提高了理论分析的水平。
测电源电动势和内阻误差分析
