重庆市2017年高考理科数学试题及答案
（Word版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.
3?i?（ ） 1?iA．1?2i B．1?2i C．2?i D．2?i
2. 设集合???1,2,4?，??xx?4x?m?0．若?????1?，则??（ ）
2??A．?1,?3? B．?1,0? C．?1,3? D．?1,5?
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（ ） A．90? B．63? C．42? D．36?
?2x?3y?3?0?5. 设x，y满足约束条件?2x?3y?3?0，则z?2x?y的最小值是（ ）
?y?3?0?A．?15 B．?9 C．1 D．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
1
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩中u C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8. 执行右面的程序框图，如果输入的a??1，则输出的
S?（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
x2y29. 若双曲线C:2?2?1（a?0，b?0）的一条渐
ab2近线被圆?x?2??y?4所截得的弦长为2，则C的
2离心率为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．
23 3?10. 已知直三棱柱??C??1?1C1中，???C?120，???2，?C?CC1?1，则异面直线??1
与?C1所成角的余弦值为（ ）
A．331510 B． C． D． 23552x?1`11. 若x??2是函数f(x)?(x?ax?1)e?3的极值点，则f(x)的极小值为（ ）
?3A.?1 B.?2e C.5e D.1
????????????12. 已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA?(PB?PC)的最小值是（ ）
A.?2 B.?
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，?表示抽
到的二等品件数，则D?? ．
34 $来 C. ? D.?1 232
214. 函数f?x??sinx?3cosx?3???（x??0,?）的最大值是 ． 4?2?15. 等差数列?an?的前n项和为Sn，a3?3，S4?10，则
1? ． ?Sk?1kn16. 已知F是抛物线C:y2?8x的焦点，若?为F? ?是C上一点，F?的延长线交y轴于点?．
的中点，则F?? ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）
?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知sin(A?C)?8sin2(1)求cosB
(2)若a?c?6 , ?ABC面积为2,求b.
18.（12分）
B． 2淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：
1. 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的
箱产量不低于50kg,估计A的概率；
2. 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
3
旧养殖法 新养殖法 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P（） 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 k 2n(ad?bc)2 K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
19.（12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，
AB?BC?1AD,?BAD??ABC?90o, 2E是PD的中点.
（1）证明：直线CE// 平面PAB
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所 成锐角为45 ，求二面角M-AB-D的余弦值
20. （12分）
ox2?y2?1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2?????????NP?2NM.
（1） 求点P的轨迹方程；
????????（2）设点Q在直线x=-3上，且OP?PQ?1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点
F.
21.（12分）
已知函数f(x)?ax?ax?xlnx,且f(x)?0. （1）求a；
34
（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e?2?f(x0)?2?3.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?cos??4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为(2,?3)，点B在曲线C2上，求?OAB面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知a?0,b?0,a3?b3?2，证明： （1）(a?b)(a3?b3)?4； （2）a?b?2．
5
参考答案
1．D 【解析】2．C
【解析】1是方程x2?4x?m?0的解，x?1代入方程得m?3
3?i?3?i??1?i???2?i 1?i?1?i??1?i?3? ∴x2?4x?3?0的解为x?1或x?3，∴B??1，3．B
【解析】设顶层灯数为a1，q?2，S7?4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
11V?V总?V上?π?32?10??π?32?6?63π22
a1?1?27?1?2?381，解得a1?3．
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线y=-2x+z取到点??6，?3?时，所求z最小值为?15．
6．D 【解析】只
能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
3由此把4份工作分成3份再全排得C24?A3?36
6
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B
【解析】S?0，k?1，a??1代入循环得，k?7时停止循环，S?3． 9．A
【解析】取渐近线y?2bb0?到直线距离为3? x，化成一般式bx?ay?0，圆心?2，22aa?b得c2?4a2，e2?4，e?2．
10．C
【解析】M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则AB1，BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（异
π??面线所成角为?0，?）
2??可知MN?1512AB1?，NP?BC1?， 2222作BC中点Q，则可知△PQM为直角三角形． PQ?1，MQ?1AC 2△ABC中，AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cos?ABC ?1??4?1?2?2?1?????7，AC?7 ?2?则MQ?711，则△MQP中，MP?MQ2?PQ2? 22MN2?NP2?PM2则△PMN中，cos?PNM?
2?MH?NP?5??2??11???2?????2?????2??????????10?
5522??222227
10π??又异面线所成角为?0，?，则余弦值为．
25??
11．A$来&源：ziyuanku.com 2x?1【解析】f??x????x??a?2?x?a?1???e，
?3则f???2????4?2?a?2??a?1???e?0?a??1，
则f?x???x2?x?1??ex?1，f??x???x2?x?2??ex?1， 令f??x??0，得x??2或x?1， 当x??2或x?1时，f??x??0， 当?2?x?1时，f??x??0， 则f?x?极小值为f?1???1．
12．B
【解析】几何法：
????????????如图，PB?PC?2PD（D为BC中点）， ????????????????????则PA?PB?PC?2PD?PA，
AP??BDC????????????????要使PA?PD最小，则PA，PD方向相反，即P点在线段AD上，
????????????????则2PD?PAmin??2PA?PD，
????????即求PD?PA最大值，
????????????3?3， 又PA?PD?AD?2?2????????22?PA?PD??3?3???????????则PA?PD≤??， ?????22?4???????????33则2PD?PAmin??2???．
428
解析法：
建立如图坐标系，以BC中点为坐标原点，
0?，C?1，0?． ∴A0，3，B??1，设P?x，y?， ????PA??x，3?y????，
????PB???1?x，?y?，
????PC??1?x，?y?，
????????????∴PA?PB?PC?2x2?22y?2y2
??2???33?2??2?x???y?2???4? ?????33?3?则其最小值为2??????，此时x?0，y?．
242??13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中p?0.02，n?100
则Dx?np?1?p??100?0.02?0.98?1.96 14．1
3?π???【解析】f?x??sin2x?3cosx??x??0，??
4?2???f?x??1?cos2x?3cosx?3 41? 令cosx?t且t??0，1y??t2?3t?
4?3? ???t?????12??2则当t?15．
3时，f?x?取最大值1． 22n n+1【解析】设?an?首项为a1，公差为d．
则a3?a1?2d?3
9
S4?4a1?6d?10
求得a1?1，d?1中/华-资*源%库，则an?n，Sn?n?n?1?2
?Sk?1n1k?2222????? 1?22?3n?n?1?n?n?1?1111??111?2?1??????????
223n?1nnn?1??1?2n??2?1????n?1?n?1
16．6
0?，准线l:x??2， 【解析】y2?8x则p?4，焦点为F?2，如图，M为F、N中点，
故易知线段BM为梯形AFMC中位线， ∵CN?2，AF?4， ∴ME?3
又由定义ME?MF， 且MN?NF， ∴NF?NM?MF?617.
【解析】（1）依题得：sinB?8sin∵sin2B?cos2B?1， ∴16(1?cosB)2?cos2B?1， ∴(17cosB?15)(cosB?1)?0， ∴cosB?15， 178． 172lyCBANMOFx
B1?cosB?8??4(1?cosB)． 22（2）由⑴可知sinB?∵S△ABC?2，
1∴ac?sinB?2， 218∴ac??2， 21710
∴ac?17， 215， 17∵cosB?a2?c2?b215∴?，
2ac17∴a2?c2?b2?15， ∴(a?c)2?2ac?b2?15， ∴36?17?b2?15， ∴b?2．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg”为事件C
而P?B??0.040?5?0.034?5?0.024?5?0.014?5?0.012?5
?0.62
P?C??0.068?5?0.046?5?0.010?5?0.008?5
?0.66
P?A??P?B?P?C??0.4092
（2）Ziyuanku.com 中/华-资*源b 库旧养殖法 新养殖法 由计算可得K2的观测值为 k2?200??62?66?38?34?100?100?96?1042箱产量?50kg 箱产量≥50kg 38 66 34 ?15.705
∵15.705?6.635 ∴P?K2≥6.635??0.001
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关． （3）1?5?0.2，0.2??0.004?0.020?0.044??0.032
11
0.032?0.068?88，?5≈2.35 171750?2.35?52.35，∴中位数为52.35．
19．【解析】
zPFMM'OEABCD y
x（1）令PA中点为F，连结EF，BF，CE．
1∵E，F为PD，PA中点，∴EF为△PAD的中位线，∴EF∥AD．
2又∵?BAD??ABC?90?，∴BC∥AD． 又∵AB?BC?11AD，∴BC∥AD，∴EF∥BC． 22∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE∥BF． 又∵BF?面PAB，∴CE∥面PAB
（2）以AD中点O为原点，如图建立空间直角坐标系．
0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)， 设AB?BC?1，则O(0，0，0)，A(0，?1，0)，B(1，?1，P(0，0，3)．
M在底面ABCD上的投影为M?，∴MM??BM?．∵?MBM??45?，
∴△MBM?为等腰直角三角形． ∵△POC为直角三角形，OC?设MM??a，CM??23OP，∴?PCO?60?． 3??333a，OM??1?a．∴M??1?a，0，0???． 333???3?1263222??1?OMa?1?BM???a?1?0?a?1?a?a?．∴． ??3?3232??12
???226?∴M??，1?，0，0M1?，0，??????? 222?????????????26????AM??1，?0，0)．设平面ABM的法向量m?(0，y1，z1)． ?1?2，?，AB?(1，2????6y1?z1?0，∴m?(0，?6，2)
2?????????AD?(0，2，0)，AB?(1，0，0)．设平面ABD的法向量为n?(0，0，z2)， ?n?(0，0，1)．
??????m?n10∴cos?m,n??????．
5m?n∴二面角M?AB?D的余弦值为20．
0) 【解析】 ⑴设P(x，y)，易知N(x，10． 5??????????????y?NP?(0，y)又NM?1NP??0，?
22???∴M?x，12??y?，又M在椭圆上． ?22?y?x∴???1，即x2?y2?2． ?2?2?⑵设点Q(?3，yQ)，P(xP，yP)，(yQ?0)，
????????由已知：OP?PQ?(xP，yP)?(?3?yP，yQ?yP)?1， ????????????????????????2OP?OQ?OP?OP?OQ?OP?1，
??????????????2∴OP?OQ?OP?1?3，
∴xP?xQ?yPyQ??3xP?yPyQ?3． 设直线OQ：y?yQ?3?x，
因为直线l与lOQ垂直． ∴kl?3 yQ13
故直线l方程为y?3(x?xP)?yP， yQ令y?0，得?yPyQ?3(x?xP)，
1??yPyQ?x?xP， 31∴x??yP?yQ?xP，
3∵yPyQ?3?3xP，
1∴x??(3?3xP)?xP??1，
3若yQ?0，则?3xP?3，xP??1，yP??1， 直线OQ方程为y?0，直线l方程为x??1， 直线l过点(?1，0)，为椭圆C的左焦点．
21．
【解析】 ⑴ 因为f?x??x?ax?a?lnx?≥0，x?0，所以ax?a?lnx≥0．
令g?x??ax?a?lnx，则g?1??0，g??x??a?1ax?1， ?xx当a≤0时，g??x??0，g?x?单调递减，但g?1??0，x?1时，g?x??0； 当a?0时，令g??x??0，得x?当0?x?1． a11时，g??x??0，g?x?单调减；当x?时，g??x??0，g?x?单调增． aa?1??1?若0?a?1，则g?x?在?1，?上单调减，g???g?1??0；
?a??a??1??1?1?上单调增，g???g?1??0； 若a?1，则g?x?在?，?a??a??1?若a?1，则g?x?min?g???g?1??0，g?x?≥0．
?a?综上，a?1．
⑵ f?x??x2?x?xlnx，f??x??2x?2?lnx，x?0．
令h?x??2x?2?lnx，则h??x??2?令h??x??0得x?当0?x?12x?1?，x?0． xx1， 211时，h??x??0，h?x?单调递减；当x?时，h??x??0，h?x?单调递增． 2214
?1?所以，h?x?min?h???1?2?ln2?0．
?2??1??1????， 因为he?2?2e?2?0，h?2??2?ln2?0，e?2??0，?，2??，?2??2??1??1????上，h?x?即f??x?各有一个零点． 所以在?0，?和?，?2??2??1??1??1?x2，因为f??x?在?0，?上单调减，???上的零点分别为x0，设f??x?在?0，?和?，
222????????所以当0?x?x0时，f??x??0，f?x?单调增；当x0?x?减．因此，x0是f?x?的极大值点．
1时，f??x??0，f?x?单调21?1?x?x2???上单调增，因为，f??x?在?，所以当?x?x2时，f??x??0，f?x?单调减，
22??时，f?x?单调增，因此x2是f?x?的极小值点． 所以，f?x?有唯一的极大值点x0．
1??由前面的证明可知，x0??e?2，?，则f?x0??fe?2?e?4?e?2?e?2．
2????因为f??x0??2x0?2?lnx0?0，所以lnx0?2x0?2，则 又f?x0??x02?x0?x0?2x0?2??x0?x02，因为0?x0?因此，e?2?f?x0??22．
【解析】⑴设M??0，?0?，P??，??
则OM??0，|OP|??． ???0?16???0cos?0?4 ????0?11，所以f?x0??． 241． 4解得??4cos?，化为直角坐标系方程为
?x?2?2?y2?4．?x?0?
⑵连接AC，易知△AOC为正三角形．
|OA|为定值．
∴当高最大时，S△AOB面积最大，
如图，过圆心C作AO垂线，交AO于H点 交圆C于B点，
15
此时S△AOB最大 Smax??1|AO|?|HB| 21|AO|?|HC|?|BC|? 2?3?2
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：?a?b?a?b≥55???a?a?b?b55?2?a3?b3??2?4
当且仅当ab5?ba5，即a?b?1时取等号． ⑵∵a3?b3?2
∴?a?b?a2?ab?b2?2
2∴?a?b?????b??3ab??2
????∴?a?b??3ab?a?b??2
3?a?b??2?ab
∴
3?a?b?2a?b??2??a?b?由均值不等式可得：?ab≤?? 3?a?b??2?2a?b??2?a?b??∴≤?? 3?a?b?2??3333?a?b?∴?a?b??2≤
433∴
13?a?b?≤2 4∴a?b≤2 当且仅当a?b?1时等号成立．
16
重庆市2017年高考理科数学试题及答案(Word版)
