平面与平面垂直的判定
【知识梳理】
1．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．
记法：α－AB－β，在α，β内，分别取点P、Q时，可记作P－AB－Q；当棱记为l时，可记作α－l－β或P－l－Q.
(2)二面角的平面角：
①定义：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
②直二面角：平面角是直角的二面角． 2．面面垂直的定义
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)画法：
记作：α⊥β.
3．两平面垂直的判定
(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． (2)图形语言：如图．
(3)符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB?α?α⊥β.
【常考题型】
题型一、面面垂直的判定
【例1】 如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC. [证明] 法一：(利用定义证明) ∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
∴△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形． 取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS为二面角A－BC－S的平面角． 在Rt△BSC中，∵SB＝SC＝a， ∴SD＝
2BC2a，BD＝＝a. 222
2
a， 2
在Rt△ABD中，AD＝
在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2，
∴∠ADS＝90°，即二面角A－BC－S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC. 法二：(利用判定定理)
∵SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°， ∴SA＝AB＝AC，
∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心． ∵△SBC为直角三角形，
∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， ∴AD⊥平面SBC. 又∵AD?平面ABC， ∴平面ABC⊥平面SBC. 【类题通法】
证明面面垂直的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． 【对点训练】
1.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝1
BC＝AA1，D是棱AA1的中点．
2
(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
解：(1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1. 又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.
(2)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1，由题意得 11＋21V1＝××1×1＝.
322
又三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1. 故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.
题型二、二面角
【例2】 已知D，E分别是正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D＝2B1E＝B1C1.求过D，E，C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小．
[解] 如图所示，在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F，则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点．于是C1F为这两个平面的交线．
因而，所求二面角即为二面角D－C1F－A1. ∵A1D∥B1E，且A1D＝2B1E， ∴E，B1分别为DF和A1F的中点． ∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝B1F， ∴FC1⊥A1C1.
又∵CC1⊥平面A1B1C1，FC1?平面A1B1C1， ∴CC1⊥FC1.
又∵A1C1，CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线， ∴FC1⊥平面AA1C1C. ∵DC1?平面AA1C1C， ∴FC1⊥DC1.
∴∠DC1A1是二面角D－C1F－A1的平面角． 由已知A1D＝A1C1，则∠DC1A1＝45°. 故所求二面角的大小为45°. 【类题通法】
解决二面角问题的策略
清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面
角的顶点．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．
【对点训练】
2.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．
解：∵E为SC中点，且SB＝BC， ∴BE⊥SC.又DE⊥SC，
BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE， ∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC， 可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，
∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE， ∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角．
设SA＝AB＝1.△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝2， AC＝3，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°， ∴∠EDC＝60°，即二面角E－BD－C为60°.
题型三、线面、面面垂直的综合问题
【例3】 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：
(1)PD⊥平面ABCD； (2)平面PAC⊥平面PBD；
(3)二面角P－BC－D是45°的二面角． [证明] (1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a， ∴PC2＝PD2＋DC2. 则PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD.又∵AD∩DC＝D，且AD，DC?平面ABCD， ∴PD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又∵AC?平面ABCD， ∴PD⊥AC.
∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD.
又∵BD∩PD＝D，且PD，BD?平面PBD， ∴AC⊥平面PBD. 又∵AC?平面PAC， ∴平面PAC⊥平面PBD. (3)由(1)知PD⊥BC，
又∵BC⊥DC，且PD，DC为平面PDC内两条相交直线， ∴BC⊥平面PDC. ∵PC?平面PDC， ∴BC⊥PC.
则∠PCD为二面角P－BC－D的平面角． 在Rt△PDC中，∵PD＝DC＝a， ∴∠PCD＝45°，
即二面角P－BC－D是45°的二面角． 【类题通法】
本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直?线面垂直?面面垂直．
【对点训练】
3.△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA.
证明：(1)设BD＝a，作DF∥BC交CE于F， 则CF＝DB＝a.因为CE⊥面ABC， 所以BC⊥CF，DF⊥EC，
所以DE＝EF2＋DF2＝5a. 又因为DB⊥面ABC， 所以DA＝DB2＋AB2＝5a，
高中数学必修2立体几何常考题型：平面与平面垂直的判定
