RR1?6 时，＝ ＝（2） 当0.30 mm， ，20.0 mm m10?V?E?2.01．把平行平
2 12
板电容0.10 mm一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm ，厚度为6 －18 当在电容器的两极间） ） 求电容器的电容；（2器的两极板紧贴在晶片两侧.（1此时自由电荷和极化电荷的面密度各为电压时，极板上的电荷为多少？ 加上12 V 求电容器内的电场强度． （3）多少？，故充满此介质的平板电容器173查表可知二氧化钛的相对电容率 ε ＝解 （1） 的电
r
容U 的电压时，极板上的电荷 ＝12 V （2） 电容器加上 极板上自由电荷面密度为 晶片表面极化电荷密度 晶片内的电场强度为（3）
－８
QR，导体外×10＝0.10 m 的导体球带有电荷C ＝196 － 如图所示，半
径1.0 d，另一层介质为空气，充0.10 m ＝有两层均匀介质，一层介质的ε＝5.0，
厚度ErD离2处的） 和 离球心为满其余空间．求：（1） ；（ ＝5cm、15
r
cm、25 cm Vr σ′．）；（3 球心为极化电荷面密度 ＝5 cm、15 cm、25 cm 处的匀分
布带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均分析
任取同心球面为高斯面，在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的．呈均匀对称分布，的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上D 电位移矢量D ?
?rrDE ）．再由可得由高斯定理）．可得（（?εε/?DEq?dD?S?求得，或者
r00?
由电势介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系lE?V?dr 叠加原理求得． ．极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度? pσ
?ar 的同心球面为高斯面，由高斯定理得（1） 取半径为 解rR2
＜0??D4πr1； 0E?0?D11RrRd 2 ＜＜ ＋ π4QD??r2QQ； ?E?D
22224πεεrrπ4r0．
rRd 2 ＞＋π4QrD??3QQ； ?E?D
33224πεεr4π
rr0rr ＝5 cm、值代入上述关系式，可得15 cm 和25 cm 将不同的时的电
位移和电场
强度的大小，其方向均沿径向朝外． r ＝5 cm，该点在导体球内，则 ； 0?ED?0rrr ＝15 cm，该点在介质层内，
1
11
ε ＝5.0，则 QQ?8?22?1 ；m?VE??8.0?103?.5?10?DC?m
ｒ2
22
rr224π4π
εεrr2r02r ＝25 cm，该点在空气层内，空气中ε≈ε ，则 03QQ1?8?22?； D?10V?m??.?13?10C?mE?1.4
rr22π44πrrε203（2） 取无穷远处电势
33
为零，由电势与电场强度的积分关系得 r ＝25 cm， r ＝15 cm， r ＝5 cm， （3） 均匀介质的极化电荷
3
2
1
分布在介质界面上，因空气的电容率ε ＝ε ，极化电荷可忽略．故在
0
介质外表面； 在介质内表面：
介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号．
－9
10人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷。设某细胞壁厚为5.2 ×
6 －20
－32
，内表面为正电荷．如果细胞壁 C，两表面所带面电荷密度为±5.2 ×
10 ／mm物质的相对电容率为6.0，求（1） 细胞壁内的电场强度；（2） 细胞壁两表面间的电势差．
σ6；方向指向细胞外． （解 1）细胞壁内的电场强度/m?10VE?9?.8
ε
εr0?2．细胞壁两表面间的电势差 ）（2 V101?.?UEd?5-5-2．现将m10 C· ×＝
σ －6 21一平板电容器，充电后极板上电荷面密度为4.5
0
两极板与电源断开，然后再把相对电容率为ε的电介质插入两极板之2.0 ＝ ｒ．
DEP 各为多少？间．此时电介质中的和、
分析 平板电容器极板上自由电荷均匀分布，电场强度和电位移矢量都是常矢量．充电后断开电源，在介质插入前后，导体板上自由电荷保持不变．取图所示的D，再根据 圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可求得电位移矢量D ，ε???EEFD度E
解 由分析可知，介质中的电位移矢量的大小 介质中的电场强度和极化强度的大小分别为 0εεr0P．和电极化强度矢量 可求得电场强
DPE方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）．、、 RR 的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为在一半径为， 6
－22 相对电容率为ε ．设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为λ．试
21
求介质层内的DEP． 和、分析 将长直带电导线视作无限长，自由电荷
ｒ
均匀分布在导线表面．在绝缘介质层的内、外表面分别出现极化电荷，这些电荷在内外表面呈均匀分布，所以电场是轴D 的分布．由介质中的高斯定理可得电位移矢量在对称分布．取同轴柱面为高斯面，P 和电极化强度矢量的分，介质中，可进一步求得电场强度E ???EP??ED?D00r布． 解 由介质中的高斯定理，有
得
在均匀各向同性介质中
6 －23 如图所示，球形电极浮在相对电容率为ε ＝3.0 的油槽中.球的一半浸没
r6－
Q问球的上、下部10＝2.0 × C. .在油中，另一半在空气中
0
已知电极所带净电荷 分各有多少电荷？由于导体球一半浸在油中，电荷在导体球上已不再是均匀分布，电场分布不 分析再呈球对称，因此，不能简单地由高斯定理求电场和电荷的分布．我们可以将导体球理解为两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器，静电平衡时导体球上的电荷分布使导体成为等势体，故可将导体球等效为两个半球电容并联，其相对无限． V，且远处的电势均为
QQ （1） 21??V
CC21另外导体球上的电荷总量
保持不变，应有
（2） Q?Q?Q012QQ ． 、因而可解得解 将导体球
21
看作两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器，上半球在空气中，电容为
下半球在油中，电容为
由分析中式（1）和式（2）可解得
由于导体球周围部分区域充满介质，球上电荷均匀分布的状态将改变．可以证明，E的关系．事实上，只此时介质中的电场强度与真空中的电场强度也不再满足0E?
εrE ．有当电介质均匀充满整个电场，并且自由电
εr6 －24 有两块相距为0.50 的薄金属板A、
荷分布不变时，才满足0?E
B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒Ｋ 内，金属盒上、下两壁与A、B 分别相距0.25 mm，金属板面积为30 mm ×40 mm。求（1） 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？
分析 薄金属板A、B 与金属盒一起构成三个电容器，其等效电路图如图（ｂ）所示，由于两导体间距离较小，电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可以求得A、B 间的电容。 解 （1） 由等效电路图可知
由于电容器可以视作平板电容器，且，故 ，因此A、B 间C2?C?2d?d?2dC132132的总电容
（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，相当于C2 （或者C3 ）极板短接，其电容为零，则总电容
6 －25 在A 点和B 点之间有5 个电容器，其连接如图所示．（1） 求A、B 两点UUU ． 和 12 VA2之间的等效电容；（） 若、B 之间的电势差为，求 、
DBCDAC
解 （1） 由电容器的串、并联，有 AB．
C ．Fμ求得等效电容4 ＝
（2） 由于，得 QQ?Q?Q?ABACCDDBSd．现将该电容器接在端电，间距为－6 26 有一个空气平板电容器，极板面积为压为U 的电源上充电，当（1） 充足电后；（2） 然后平行插入一块面积相同、厚d）、相对电容率为ε 的电介质板；（3）δ（δ ＜ 将上述电介质换为同样度为Q 和极板间的电场强度
ｒ
E． 大小的导体板．分别求电容器的电容C，极板上的电荷分析 电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U．插入电介质后，由
大学物理第六章课后习题答案马文蔚第五版
