勾股定理
知识点回顾
１、勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2?b2?c2
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4S?DHEFbAcGaB?S正方形EFGH?S正方形ABCD，4?1ab?(b?a)2?c2，化简可证．
2bCacbAaaDbcccBbbccbaEaCa
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
1四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S?4?ab?c2?2ab?c2
2大正方形面积为S?(a?b)2?a2?2ab?b2 所以a2?b2?c2
1S?(a?b)?(a?b)，S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?1ab?1c2，化简得证 方法三：梯形222３、勾股定理的适用范围：只适用于直角三角形
４、勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在?ABC中，?C?90?，则c?a2?b2，b?c2?a2，a?c2?b2
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５、勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形 状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2?b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2?b2?c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2?b2?c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；
当△ABC是锐角三角形时，
证明：过点A作AD⊥CB，垂足为D。设CD为x，则有DB=a－x，根据勾股定理得 b2－x2＝c2―(a―x) 2 即 b2－x2＝c2―a2＋2ax―x 2，∴a2＋b2＝c2＋2ax ，∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2 当△ABC是钝角三角形时，
证明：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.，设CD为x，则有DB2=a2－x2
根据勾股定理得 (b＋x)2＋a2―x 2＝c2，即 b2＋2bx＋x2＋a2―x 2＝c2，∴a2＋b2＋2bx＝c2 ∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a2+b2 ６、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2?b2?c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数：n2?1,2n,n2?1（n?2,n为正整数）；2n?1,2n2?2n,2n2?2n?1（n为正整数） m2?n2,2mn,m2?n2（m?n,m，n为正整数） ７、勾股定理的应用 在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８、勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在计算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９、勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形： CCCC30°ABADBBDABDA 知识运用 题型一：直接考查勾股定理 例１.在?ABC中，?C?90?． ⑴已知AC?6，BC?8．求AB的长 ⑵已知AB?17，AC?15，求BC的长 分析：直接应用勾股定理a2?b2?c2 解：⑴AB?AC2?BC2?10 ⑵BC?AB2?AC2?8 题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在?ABC中，?ACB?90?，AB?5cm，BC?3cm，CD?AB于D，CD＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解： AD⑴AC?AB2?BC2?4，CD?AC?BC?2.4ABBC ⑵设两直角边的长分别为3k，4k?(3k)2?(4k)2?152，?k?3，S?54 1⑶设两直角边分别为a，b，则a?b?17，a2?b2?289，可得ab?60?S?ab?30cm2 2例３.如图?ABC中，?C?90?，?1??2，CD?1.5，BD?2.5，求AC的长 CD12EAB 分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE?AB于E，?1??2，?C?90??DE?CD?1.5 在?BDE中，?BED?90?,BE?BD2?DE2?2，Rt?ACD?Rt?AED，?AC?AE 在Rt?ABC中，?C?90?，?AB2?AC2?BC2，(AE?EB)2?AC2?42?AC?3 例4.如图Rt?ABC，?C?90?AC?3,BC?4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 CAB答案：6 题型三：实际问题中应用勾股定理 例5如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC . 解析：先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1这是典型 的利用勾股定理“知二求一”的类型。 解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2 设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5, x2+1.52=（ x+0.5）2 解之得x=2. 故水深为2米. 例6.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m AEBDC 分析：根据题意建立数学模型，如图AB?8m，CD?2m，BC?8m，过点D作DE?AB，垂足为E，则AE?6m， DE?8m，在Rt?ADE中，由勾股定理得AD?AE2?DE2?10 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例7.已知三角形的三边长为a，b，c，判定?ABC是否为Rt? ①a?1.5，b?2，c?2.5 ②a?52，b?1，c? 43解：①a2?b2?1.52?22?6.25，c2?2.52?6.25 ??ABC是直角三角形且?C?90? 1325②b2?c2?，a2?，b2?c2?a2??ABC不是直角三角形 916例8.三边长为a，b，c满足a?b?10，ab?18，c?8的三角形是什么形状？ 解：此三角形是直角三角形 理由：a2?b2?(a?b)2?2ab?64，且c2?64?a2?b2?c2 所以此三角形是直角三角形 题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例9.已知?ABC中，AB?13cm，BC?10cm，BC边上的中线AD?12cm，求证：AB?AC 证明： ABDC AD为中线，?BD?DC?5cm 在?ABD中，AD2?BD2?169，AB2?169?AD2?BD2?AB2， ??ADB?90?，?AC2?AD2?DC2?169，AC?13cm，?AB?AC 四边形 知识点回顾 知识一：多边形内角和与外角和 1.n边形内角和为（n-2）180°,外角和为360°。 2.多边形中连接互不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，n边形的对角线条数是n(n?3)。 23.镶嵌：在某一点处互不重叠拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，才是镶嵌；任意一个三角形和四边形、正六边形可镶嵌平面。 知识二：特殊四边形的性质和判定 1. 特殊四边形的性质 边 角 对角线 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行且相等 对边平行且相等 四条边都相等 四条边都相等 对角相等 四个角均为直角 对角相等 四个角均为直角 对角线互相平分 互相平分且相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分 注：矩形、菱形、正方形具有平行四边形所有性质；菱形具有矩形所有性质；正方形具有矩形、菱形所有性质。 2.特殊四边形的判定 （1）平行四边形的判定 Ⅰ、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 Ⅱ、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ⅲ、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 Ⅳ、对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）矩形的判定方法 Ⅰ、有一个角是直角的平行四边形；Ⅱ、有三个角是直角的四边形； Ⅲ、对角线相等的平行四边形； Ⅳ、对角线相等且互相平分的四边形． 拓展：矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。 （3）菱形的判定 Ⅰ、定义；Ⅱ、四条边都相等的四边形； Ⅲ、对角线互相垂直平分的四边形；Ⅳ、对角线平分一组对角的平行四边形． 拓展：若a、b分别表示两条对角线的长，则 （4）正方形的判定 Ⅰ、先证它是矩形，再证一组邻边相等；Ⅱ、先证它是菱形，再证一个角是直角． 拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大． （5）梯形的性质和判定 ①梯形的性质 边 角 对角线 等腰梯形 一组对边平行，另一组对边不平行（相等） 同一底上的两个底角相等 相等 直角梯形 一组对边平行，有一腰与底边垂直 有两个直角 ②等腰梯形、直角梯形的判定 （1）两腰相等的梯形是等腰梯形（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）有一个角是直角的梯形是直角梯形 ③梯形常作辅助线 辅助线是解决梯形问题的一把钥匙，起到转化思想：把梯形转化成特殊的四边形与三角形；把互相平行的两底转化成一条线段。具体如下图：
初二数学下册勾股定理与四边形复习(教师版)
