课时作业(七)
1．a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β有( ) A．只能作一个 C．不存在 答案 D
解析 当a与α相交时，β不存在，当a与α平行时，存在一个β，使得α∥β. 2．下列命题中，真命题的个数是( )
①如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行 ②如果两个平面平行，那么这两个平面没有公共点 ③如果两个平面不相交，那么这两个平面平行 ④如果两个平面不平行，那么这两个平面相交 A．1 C．3 答案 D
3．两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面( ) A．平行 C．平行或相交 答案 C
4．α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是( )
A．α，β都平行于直线a，b
B．a，b是α内的两条直线，且a∥β，b∥β C．a在α内且a∥β，b在β内且b∥α
D．a，b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β 答案 D
解析 A错，若a∥b，则不能断定α∥β； B错，若a∥b，则不能断定α∥β； C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确．
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
B．相交 D．其他 B．2 D．4 B．至少一个 D．至多一个
①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1. 其中推断正确的序号是( ) A．①③ C．②③ 答案 A
解析 ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.
∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1. ∵FG?平面AA1D1D，AD1
平面AA1D1D，
B．①④ D．②④
∴FG∥平面AA1D1D，故①正确． ∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交， ∴EF与平面BC1D1相交，故②错误． ∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点， ∴FG∥BC1.
∵FG?平面BC1D1，BC1
平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故③正确． ∵EF与平面BC1D1相交，
∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误，故选A.
6．已知三棱锥P－ABC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，则面DEF与面ABC的位置关系是________． 答案 平行
7．(1)a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，若a∥b∥c，a与β的位置关系是________．
(2)平面α内有两条直线a，b且a∥β，b∥β，则α与β的位置关系是________． 答案 (1)平行或相交 (2)平行或相交
α，b
β，c
β，则α
8．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC边上的中点，D1为B1C1边上的中点，求证：面A1BD1∥面ADC1.
证明 ∵D，D1分别为BC，B1C1的中点，∴D1C1綊BD. ∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴BD1∥DC1. 连接DD1，∵DD1綊BB1綊AA1， ∴四边形ADD1A1为平行四边形． ∴A1D1∥AD.
∵A1D1∩BD1＝D1，AD∩DC1＝D， ∴面A1BD1∥面ADC1.
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、C1D1、AD的中点．求证：面AA1C1∥面EFG.
证明 ∵E、F为A1D1、C1D1中点，∴EF∥A1C1. ∵G为AD中点，∴EG∥AA1. 又∵EF∩EG＝E，A1C1∩A1A＝A1， ∴面AA1C1∥面EFG.
10．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点，N为BC的中点，试在E、F、G、H四个点中找两个点，使这两个点与N确定的平面α与面BB1D1D平行．
解析 F、H与N构成的面与面BB1D1D平行．
11.在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是梯形，DC＝2AB，P、Q分别是CC1、C1D1的中点．
求证：平面AD1C∥平面BQP.
证明 ∵P、Q分别为C1C，C1D1的中点， ∴PQ∥D1C.
∵在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
DC＝2AB，DC＝D1C1，
∴D1Q綊AB，∴四边形ABQD1为平行四边形． ∴D1A∥QB，又∵D1A∩D1C＝D1，QB∩QP＝Q， ∴平面AD1C∥平面BQP.
12．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM＝FN，G为AB上一点，且MG∥BC.求证：平面MNG∥平面BCE.
AMAG
证明 ∵MG∥BC，∴＝.①
MCGB
又∵四边形ABCD与四边形ABEF为全等的正方形， ∴FB＝AC，∵FN＝AM， AMFN
∴NB＝MC，∴＝.②
MCNBAGFN
由①②，得＝.
GBNB∴NG∥FA，∴NG∥BE. ∵NG∩MG＝G，EB∩BC＝B， ∴面MNG∥面BCE.
13.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AP＝B1Q，N是PQ的中点，M是正方形ABB1A1的中心．
求证：(1)MN∥平面B1D1； (2)MN∥A1C1.
证明 (1)连接PM，并延长PM交A1B1于点E，连接EQ，由比例关系，MN∥EQ，所以MN∥平面B1D1.
(2)由比例关系MN∥EQ，EQ∥A1C1，所以MN∥A1C1.
14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明 (1)如图，连接SB，
∵E、G分别是BC、SC的中点， ∴EG∥SB. 又∵SB
平面BDD1B1，
EG?平面BDD1B1， ∴直线EG∥平面BDD1B1. (2)连接SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD. 又∵SD
平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
平面EFG，FG
平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面
∴FG∥平面BDD1B1，且EGBDD1B1.
15.如图所示，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.问在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
北师大版数学必修二作业7高考调研精讲精练
