有限元法基础试题
一、 填空题（5X 2分） 单元刚度矩阵ke
BTDBd 中，矩阵B为 _______________ ，矩阵D为 ____________ 。
边界条件通常有两类。 通常发生在位置完全固定不能转动的情况为 _____________ 边界， 具体指定有限的非零值 位移的情况，如支撑的下沉，称为 __________ 边界。 内部微元体上外力总虚功： d We
Fbx u xy,x y,y
Fby
v dxdy x
+
x,x xy,y
u,x
y
v,y
xy
u,y u,x dxdy
的表达式中， 第
一项为 _____________________ 的虚功，第二项为 _____________________ 的虚功。 弹簧单元的位移函数 N1+ N2 = ___________ 。
kj数学表达式：令 dj = __________ , dk= _________ , k j，则力Fi kj。
二、 判断题（5X 2分）
位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ 是变形体力学的普遍原理。 （）
常应变三角单元中变形矩阵是 对称单元中变形矩阵是 三、 简答题（ 26 分）
列举有限元法的优点。（ 8 分） 写出有限单元法的分析过程。（ 8 分） 列出 3 种普通的有限元单元类型。（ 6 分） 简要阐述变形体虚位移原理。（ 4 分） 四、 计算题（ 54 分）
对于下图所示的弹簧组合， 单元①的弹簧常数为 10000N/m,单元②的弹簧常数为 20000N/m,单元③的弹 簧常数为10000N/m,确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（ 对于如图所示的杆组装，弹性模量
10分）
E为10GPa，杆单元长L均为2m，横截面面积 A均为2 X 10-4m2，弹
10 分）
E，横截面面积均为 A，单元长度如图，根据对称性，求
（ ）
）
变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性 和非线性），变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。
x或y的函数。
（） （）
x或y的函数。
簧常数为2000kN/m，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（ 对称桁架如图（a）所示，杆单元弹性模量均为 图（b）的整体刚度矩阵。（12分）
（ a）
如图所示的平面桁架，确定转换矩阵
（ b）
T1 ，并写出 T1 K T1 （10 分）
1 固支，节点 2有滚柱支撑，节点 3
确定下图所示梁的各节点位移。梁已按节点编号离散化。梁在节点 作用有垂直向下的力
P=50kN。令沿梁弹性模量 E=210GPa ,1=12 X 10-4m4，梁单元长 L=3m。弹簧常数
k=200kN/m 。（12分） 参考答案 （A ）： 一、填空题 （ 5X 2 分）
变形矩阵或应变矩阵 弹性矩阵或本构关系矩阵 齐次边界 非齐次边界
1
1
/
微元体上外力在随基点刚体平移所做虚功 0
二、 判断题（5 X 2分）
外力在微元体变形虚位移上所做虚功
V \\
三、 简答题（26分）
答：优点有：①很容易地模拟不规则形状结构；②可以很方便地处理一般荷载条件；③由于单元方程是 单个建立的，因此可以模拟由几种不同材料构成的物件；④可以处理数量不受限制和各类边界条件；⑤ 单元尺寸大小可以变化；⑥改变模型比较容易⑦可以包括动态作用⑧可以处理大变形和非线性材料带来 的非线性问题。（8分） 答：有限元方法的一般步骤有：①离散和选择单元类型；②选择位移函数；③定义应变位移和应力应变 关系；④推导单元刚度矩阵和方程；
⑤组装单元方程得岀总体方程并引入边界条件；
8分）
⑥求解未知自由度;
⑦求解单元应变和位移；⑧解释结果。（
答：弹簧单元，杆单元，梁单元，轴对称单元，常应变三角单元，线应变三角形单元，四面体单元等。 （任意上述三种均可）（6分）
答：变形体虚位移原理：受给定外力的变形体处于平衡状态的充分、必要条件是，对一切虚位移，外力 所作总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功。（ 四、 计算题（54分） 解：沿弹簧建立X坐标：
（A ）每个弹簧单元刚度矩阵如下： 总体刚度矩阵：
（B）总体刚度矩阵方程：
4分）
边界条件：F2x 450N，
F
3X 0， d1x
0
， d4x 0
解得:
(C)
d2x
0.027m，d3x 0.018m，
F
1X
270N，F4X 180N
求单元 2节点力
解得:
fL
180N ，
?
X
180N
解：沿杆单元建立 X坐标: 每个单元刚度矩阵如下: （A）
k
1
k2 AE1
10
6
1
N/m
k
3
2 106 1
1
N/m
总体刚度矩阵：
（B）总体刚度矩阵方程:
边界条件：F2X 5000N， F3X 0，d1x 0，d4x 0 解得：d2x 0.003m，d3x 0.001m，F1X
（C）单元②的应力
3000N，F4X 2000N
解得：f2x 2000N , f?x 2000N
10MPa
杆单元②受压
?x= 2000 A =2 10 4
有限元法基础试题（B）
一、填空题（5X 2分）
整体刚度矩阵方程中节点荷载由两部分组成，一是 ________________ ，二是 ____________ 常应变三角形单元的位移函数
Ni+ Nj + Nm= __________ 。
最小势能原理与虚位移原理等价，一个是以 _________ 的形式描述，另一个用 ______ 的形式表达。 计算轴对称单元刚度矩阵有三种方法，一是采用数值积分，二是
___________________ ，三是
基本的三维单元是 _______________ 。 二、 判断题（5X 2分）
边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为非其次边界。（ 线应变三角形单元中变形矩阵是 X或y的函数。 杆单元的位移函数 2+2=1。 单元刚度矩阵ke
（） （） （） （）
）
BTDBd 中，矩阵B为弹性矩阵，矩阵 D为变形矩阵。
在梁单元中节点力与位移的方向规定应该是与材料力学中规定是一致的。 三、 简答题（26分）
简述刚度矩阵的特性。（6分） 写岀位移函数的含义。（4分）
写出推导弹簧单元刚度矩阵的分析过程。（
7分）
9分）
试列举三种有限元商用软件，并说明各自优点。（ 四、计算题（54分）
对于下图所示的弹簧组合， 单元①的弹簧常数为 2000N/m,单元②的弹簧常数为 2000N/m，节点3处位移
S为0.01m，确定各节点位移、单元力和反力。（
（a）
对称桁架如图（a）所示，杆单元弹性模量均为 图（b）的整体刚度矩阵。（12分）
(a)
10 分） 如图所示的杆单元，杆单元弹性模量为 E,杆单元长
为L,横截面面积为 A，试分别计算（a）、（ b） 总体x-y坐标下的刚度矩阵。（10分）
（b）
E，横截面面积均为 A，单元长度如图，根据对称性，求
（b）
2作用有垂直向下的力 P=12kN。令
沿梁弹性模量 E=70GPa，I=2 X 10-4m4，梁单元长 L=4m。弹簧常数k=200kN/m。（ 10分）
确定下图所示梁的各节点位移。梁已按节点编号离散化。梁在节点
如图所示梁，确定节点位移，以及每一单元的力和反作用力。梁弹性模量 元长L=4m。作用在梁单元②的均布荷载 参考答案（B ）: 一、填空题（5 X 2分） 直接节点荷载
等效节点荷载
1
P为8 kN/m。（ 12分）
E=70GPa，I=3 X 10-4m4,梁单
能 功 直接积分 对单元中心点计算 二、 判断题（5 X 2分）
四面体单元
x V V x x
三、 简答题（26分）
答：刚度矩阵的特性有：①对称的；②奇异的；③主对角项总是正的。（
6分）
答：位移函数的含义：将单元中任意一点的位移近似地表示成该单元节点的函数。当第 为1而所有其他自由度值为
0, Ni代表在整个单元域中假定的位移函数形状。（
i个单元自由度
4分）
答：推导弹簧单元刚度矩阵的分析过程为①选择单元类型；②选择位移函数；③定义应变位移和应力应 变关系；④推导单元刚度矩阵和方程； ⑦求解单元力。（7分）
答：①ABAQUS是一套先进的通用有限元系统，属于高端 分
CAE软件。它长于非线性有限元分析
⑤组装单元方程得岀总体方程并引入边界条件；
⑥求解节点位移；
，可以
析复杂的固体力学和结构力学系统，特别是能够驾驭非常庞大的复杂问题和模拟高度非线性问题。 ABAQUS不但可以做单一零件的力学和多物理场的分析， 分析的特点相对于其他分析软件来说是独一无二的。
同时还可以做系统级的分析和研究，
其系统级
②ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场
分析于一体的大型通用有限元分析软件，发展了很多版本，但是它们核心的计算部分变化不大，只是模 块越来越多。ANSYS系统擅长于多物理场和非线性问题的有限元分析 用较多。③（9分） 四、计算题（54分） 常应变三角单元（12分）
如图所示梁，确定节点位移，以及每一单元的力和反作用力。梁弹性模量 用在梁单元上的均布荷载
P为5 kN/m。图中长度L=1m。（ 10分）
E=10GPa，I=2 x 10-4m4,作用 E=210GPa，1=2 x 10-4m4，作
，在铁道，建筑和压力容器方面应
如图所示梁，确定节点位移，以及每一单元的力和反作用力。梁弹性模量 在梁单元上的均布荷载 P为1 kN/m。图中长度 L=1m。（ 10分）
有限元法基础试题
