第6章 拉普拉斯方程的格林函数法
在第4、5两章，我们较系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法——分离变量法、行波法与积分变换法.本章我们来介绍拉普拉斯方程的格林函数法.先讨论此方程解的一些重要性质，再建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式.
6.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
在第3章，我们已从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维拉普拉斯方程
?2u?2u?2u?u?2?2?2?0.
?x?y?z2作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程，它不能提初始条件.至于边界条件，如第
一章所述有三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题.
（1）第一边值问题 在空间(x,y,z)中某一区域?的边界?上给定了连续函数f，要求这样一个函数u(x,y,z)，它在闭域??? (或记作?)上连续，在?内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在?上与已知函数f相重合，即
u??f. (6.1)
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题，或简称狄氏问题.4.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题.
拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域?内找一个调和函数，它在边界?上的值为已知.
（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面?上给出连续函数f，要求寻找这样一个函数
u(x,y,z)，它在?内部的区域?中是调和函数，在???上连续，在?上任一点处法向导
数
?u存在，并且等于已知函数f在该点的值： ?n?u?f. （6.2） ?n?这里n是?的外法向矢量.
第二边值值问题也称牛曼（Neumann）问题.
以上两个边值问题都是在边界?上给定某些边界条件，在区域内部求拉普拉斯方程的解.这样的问题称为内问题.
在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题的另一种提法.例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域?的外部求调和函数u，使满足边界条件u??f,这里?是
?的边界，f表示物体表面的温度分布，象这样的定解解问题称为拉普拉斯方程的外问题.
由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于在电学上总是假定在无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加一个条）件*
limu(x,y,z)?0r??(r?x2?y2?z2). （6.3）
（3）狄氏外问题 在空间(x,y,z)的某一闭曲面?上给定连续函数f，要找出这样一个函数u(x,y,z)，它在?的外部区域??内调和，在????上连续，当点(x,y,z)趋于无穷远时，u(x,y,z)满足条件(6.3)，并且它在边界?上取所给的函数值
u??f. （6.4）
（4）牛曼外问题 在光滑的闭曲面?上给定连续函数f，要找出这样一个函数
u(x,y,z)，它的闭曲面?的外面部区域??内调和，在????上连续，在无穷远处满足条
件(6.3)，而且它在?上任一点的法向导数
?u存在，并满足 ?n'?u?f, （6.5） ?n'?这里n?是边界曲面?的内法向矢量.
下面我们重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题.
6．2 格林公式
为了建立拉普拉斯方程解的积分表达式，需要先推导出格林公式，而格林公式则线面积分中奥-高公式的直接推论.
设?是以足够光滑的曲面?为边界的有界区域，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是在
???上连续的，在?内具有一阶连续偏导数的任意函数，则成立如下的奥-高公式
*）
从数学角度讲，补充了这个条件就能保证外问题的解是唯一的，如果不具有这个条件，外问题的解
??1可能不唯一.例如，在单位圆?外求调和函数，在边界上满足u.容易看出，u1(x,y,z)?1及
u2(x,y,z)?1x?y?z222都在单位圆外满足拉普拉斯方程，并且在单位圆?上满足上述边界条件.
??P?Q?R?????d? ????x?y?z??????[Pcos(n,x)?Qcos(n,y)?Rcos(n,z)]dS, (6.6)
?其中d?是体积元素，n是?的外法向矢量，dS是?上的面积元素.
下面来推导公式(6.6)的两个推论.
设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在???上具有一阶连续偏导数，在?内具有连续的二阶偏导数.在(6.6)中令
P?u则有
?v?v?v,Q?u,R?u, ?x?y?z??u?v?u?v?u?v?2(u?v)d??????d? ???????x?x?y?y?z?z???????u??vdS, ?n或
2(u????v)d????u???vdS????gradu?gradvd?. （6.7） ?n?(6.7)式称为第一格林(Green)公式.
在公式(6.7)中交换u,v位置，则得
2(v????u)d????v???udS????gradu?gradvd?. （6.8） ?n?将(6.7)与(6.8)式相减得到
?u???v22(u?v?v?u)d??u?v??n?dS. （6.9） ??????n????(6.9)式称为第二格林公式.
利用格林公式我们可以推出调和函数的一些基本性质. (i)调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其在区域边界?上的法向导数沿?的积分来表达调和函数在?内任一点的值.
设M0(x0,y0,z0)是?内某一固定点，现在我们就来求调和函数在这点的值，为此，构造一个函数
v?11?. （6.10）
222r(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)
数学物理方程学习指导书第6章拉普拉斯方程的格林函数法剖析
