13 不等式选讲
1.（2024?全国1卷）已知函数f(x)?|3x?1|?2|x?1|． （1）画出y?f(x)的图像；
（2）求不等式f(x)?f(x?1)的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）???,???7??. 6?【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数f?x?的解析式，作出图象； （2）作出函数f?x?1?的图象，根据图象即可解出．
??x?3,x?1?1?【详解】（1）因为f?x???5x?1,??x?1，作出图象，如图所示：
3?1??x?3,x???3?
（2）将函数f?x?的图象向左平移1个单位，可得函数f?x?1?的图象，如图所示：
由?x?3?5?x?1??1，解得x??7?7?．所以不等式f(x)?f(x?1)的解集为???,??．
6?6?【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．
2.（2024?全国2卷）已知函数f(x)?x?a?|x?2a?1|. （1）当a?2时，求不等式f(x)4的解集； （2）若f(x)4，求a的取值范围. 【答案】（1）?xx?2??311?或x??；（2）???,?1?22??3,???.
【解析】（1）分别在x?3、3?x?4和x?4三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到f?x???a?1?，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当a?2时，当x?3时，
2f?x??x?4?x?3.
32f?x??4?x?3?x?7?2x?4，解得：x≤；
f?x??4?x?x?3?1?4，无解；
11； 2当3?x?4时，当x?4时，
f?x??x?4?x?3?2x?7?4，解得：x???311?或x??. 22?2综上所述：f?x??4的解集为?xx?2（2）f?x??x?a?x?2a?1?x?a????x?2a?1???a22?2a?1??a?1?（当
2且仅当2a?1?x?a2时取等号），??a?1??4，解得：a??1或a?3， ?a的取值范围为???,?1??3,???.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常
考题型.
3.（2024?全国3卷）设a，b，c?R，a＋b＋c＝0，abc＝1． （1）证明：ab＋bc＋ca＜0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】（1）由(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc?0结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）不妨设max{a,b,c}?a，由题意得出a?0,b,c?0，由
b?c??32a?a?a?bc【详解】（1）
2b2?c2?2bc，结合基本不等式，即可得出证明.
?bc(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc?0，
?ab?bc?ca??1222?a?b?c? 2abc?1,?a,b,c均不为0，则a2?b2?c2?0，
?ab?bc?ca??1222a?b?c??0； ?2（2）不妨设max{a,b,c}?a，
由a?b?c?0,abc?1可知，a?0,b?0,c?0，
2221b?c??b?c?2bc2bc?2bc32a??b?c,a?，?a?a?a????4. bcbcbcbc.当且仅当b?c时，取等号，
?a?34，即max{a,b,c}34.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题. 4.（2024?江苏卷）设x?R，解不等式2|x?1|?|x|?4． 【答案】??2,? 3??2??【解析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果
【详解】
x??1x?0???1?x?0?或或 ????2x?2?x?42x?2?x?42x?2?x?4???2?2???2?x??1或?1≤x≤0或0?x?,所以解集为??2,?
3?3?【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
13 不等式选讲
