五法并举,破解含参函数零点问题
王国涛
【期刊名称】《《高中数理化》》 【年(卷),期】2024(000)013 【总页数】4页(P11-14) 【作 者】王国涛
【作者单位】湖北省孝感高级中学 【正文语种】中 文 【中图分类】教科文艺
· 难点挑战 ·◇ 湖北 王国涛 本文探究一道含参函数零点的问题， 这是具有代 表性的一个热点题目， 主要考查导数、 函数零点、 函数 图象与函数性质等知识， 考查运用推 理 论 证 能 力， 运 算求解能力和数据处理能力， 且渗透 数 学 抽 象、 逻 辑 推理与数学 运 算 等 核 心 素 养． 这 虽 是 一 道 选 择 题， 但 难度较大， 学生得分率低， 对解决含参 函 数 零 点 这 一 类问题有借鉴意义， 值得一探究竟．题目 已知函数ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｎ ｘ－ ａ ｘ２＋ ａ ｘ 恰有两 个零点， 则实数ａ的取值范围为（ ） ．Ａ （ －∞， ０ ） ； Ｂ （ ０ ， ＋∞） ；Ｃ （ ０ ， １ ） ∪（ １ ， ＋∞） ； Ｄ （ －∞， ０ ） ∪｛ １ ｝１ 解法探究１ ． １ 特值法 解法１ 当ａ ＝ １时， ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｎ ｘ－ ｘ２＋ ｘ，ｆ ′ （ ｘ ） ＝ １ ｘ－ ２ ｘ＋ １ ＝－ ２ ｘ ２＋ ｘ＋ １ ｘ ＝（１ － ｘ ） （ ２ ｘ＋ １ ）ｘ，当０ ＜ ｘ＜ １时， ｆ ′ （ ｘ ） ＞ ０ ；
当ｘ＞ １时， ｆ ′ （ ｘ ） ＜ ０ ． 故ｆｍ ａ ｘ（ ｘ ） ＝ ｆ （ １ ） ＝ ０ ， 此时函数ｆ （ ｘ ） 只有唯一一个零点， 不 合 题 意， 从 而 排 除 Ｂ ， Ｄ． 当ａ＝ －１ 时，ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｎ ｘ＋ｘ ２ －ｘ， ｆ ′（ ｘ） ＝１ ｘ ＋２ ｘ－１＝２ ｘ ２－ ｘ＋ １ ｘ ＞ ０恒成立， 故ｆ（ ｘ） 在（ ０ ， ＋∞） 上单调递增， 所以ｆ （ ｘ） 至多只有一个零点， 不合题意， 从而排除 Ａ， 故选 Ｃ ．作为选择题， 本题可利用特值法排除不合题 意的选项， 从 而 快 速 得 到 正 确 选 项， 体 现 了 “小题不大做” 的解题智慧．１ ． ２ 直接法解法２ 由题知ｆ ′ （ ｘ ） ＝１ｘ－ ２ ａ ｘ＋ ａ ＝－ ２ ａ ｘ ２＋ ａ ｘ＋ １ ｘ （ｘ＞ ０ ） ．故当ａ ＝０ 时， ｆ（ ｘ） ＝ ｌ ｎ ｘ 只有唯一零点， 不合题意；当Δ＝ ａ２＋８ ａ≤０ 即－８≤ ａ＜０ 时， －２ ａ ｘ２＋ ａ ｘ＋ １ ≥ ０ ， ｆ ′ （ ｘ ） ≥ ０ ， 从而ｆ （ ｘ ） 在（ ０ ， ＋∞） 单调递增， 且当ｘ→０＋ 时， ｆ（ ｘ） → － ∞； 当 ｘ→ ＋ ∞ 时，ｆ （ ｘ ） →＋∞， 故 ｆ（ ｘ） 只 有 一 个 零 点， 不 合 题 意；当ａ ＜－８ 时， 记 －２ ａ ｘ２ ＋ａ ｘ＋１＝０ 的 两 根 分 别 为ｘ １， ｘ ２ 且ｘ １＜ ｘ ２， 因为ｘ １＋ ｘ ２＝１ ２ ， ｘ １ ｘ ２＝－ １ ２ ａ＞０ ， 所以０ ＜ ｘ １＜ １４＜ ｘ ２．由ｆ ′ （ ｘ ） ＝ － ２ ａ （ ｘ－ ｘ １） （ ｘ－ ｘ ２）＞０ ， 得ｘ １＜ｘ＜ ｘ ２， 故ｆ （ ｘ ） 在（ ０ ， ｘ １） 上单调递增， 在（ ｘ １， ｘ ２） 上 单调递减， 在（ ｘ ２， ＋ ∞） 上 单 调 递 增， 因 为 －２ ａ ｘ ２１ ＋ａ ｘ １＋ １ ＝ ０ ， 所以ａ ｘ １＝１ ２ ｘ １－ １ ， 从而ｘ １ 是ｆ（ ｘ） 的极大值点， 且 ｆ （ ｘ １） ＝ ｌ ｎ ｘ １－ ａ ｘ ２ １＋ ａ ｘ １＝ ｌ ｎ ｘ １＋ １ － ｘ １ ２ ｘ １－ １＜ ０ ， 故ｆ （ｘ ）只有一个零点， 不合题意． 当ａ ＞ ０时， 因ｘ １ ｘ ２＝－ １ａ＜０ ， 所以ｘ １＜０＜２＜ ｘ ２， 由ｆ ′ （ ｘ） ＞０ ， 得ｘ １＜ ｘ＜ ｘ ２， 从而ｆ（ ｘ） 在（ ０ ， ｘ ２） 上单调递增， 在（ ｘ ２， ＋∞） 上单调递减， 故ｘ ２是ｆ （ ｘ ） 的极大值点， 且 ｆ （ ｘ ２） ＝ ｌ
ｎ ｘ ２－ ａ ｘ ２ ２＋ ａ ｘ ２＝ ｌ ｎ ｘ ２＋ １ － ｘ ２ ２ ｘ ２－ １． 因为ｘ→０ｆ （ ｘ ） →－∞， 要使ｆ （ ｘ ） 恰有两个零点， 只需 ｆ （ ｘ ２） ＞０ ． 令ｇ （ ｘ ） ＝ ｌ ｎ ｘ＋ １ － ｘ ２ ｘ－ １ （ ｘ＞ １ ２ ） ， 则ｇ ′ （ ｘ ） ＝ １ ｘ＋ － １（ ２ ｘ－ １ ） ２＝ （４ｘ－ １ ） （ ｘ－ １ ）ｘ （ ２ ｘ－ １ ） ２ ， 当１２＜ ｘ＜ １ 时， ｇ ′ （ ｘ） ＜０ ； 当 ｘ＞１ 时， ｇ ′ （ ｘ）＞ ０ ．故ｇ ｍ ｉ ｎ（ ｘ ） ＝ ｇ （ １ ） ＝ ０ ， 从而ｇ （ ｘ ） ≥ ０ ， ｆ （ ｘ ２） ≥０ ． 由 ｆ （ ｘ ２） ＞ ０ ， 得ｘ ２≠ １ ， ａ ≠ １ ， 从而ａ ＞ ０且ａ ≠ １ ．综上所述， ａ ＞ ０且ａ ≠ １ ．直 接 处 理 函 数 零 点 的 问 题 需 要 准 确 把 握 分 类讨论的分界点， 本题的分界点需要考虑二 次项的系数以及二次方程的判别式． 所以不仅要考虑二次 方 程 根 的 大 致 范 围， 而 且 要 注 意 函 数 值 的 变 化趋势． １ ． ３ 转化法（ 转化为两曲线的交点）解法３ 函数ｆ（ ｘ） ＝ ｌ ｎ ｘ－ ａ ｘ２＋ ａ ｘ 恰有两个１ １ 本文探究一道含参函数零点的问题， 这是具有代表性的一个热点题目， 主要考查导数、 函数零点、 函数图象与函数性质等知识， 考查运用推 理 论 证 能 力， 运算求解能力和数据处理能力， 且渗透 数 学 抽 象、 逻 辑推理与数学 运 算 等 核 心 素 养． 这 虽 是 一 道 选 择 题， 但难度较大， 学生得分率低， 对解决含参 函 数 零 点 这 一类问题有借鉴意义， 值得一探究竟．２＋ ａｘ 恰有两个零点， 则实数ａ的取值范围为（ ） ．Ｃ （０ ，１ ）∪（１ ，＋∞） ；Ｄ （ －∞， ０ ） ∪｛ １ ｝１ ．１ 特值法解法１ 当ａ ＝ １时， ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｎ ｘ－ ｘｆ′＝ｘ－ ２ ｘ＋ １ ＝－ ２２＋ ｘ＋ １当０ ＜ ｘ＜ １时， ｆ ′ （ ｘ ） ＞ ０ ；当ｘ＞ １时， ｆ ′ （ ｘ ） ＜ ０ ．故ｆｍ ａ ｘ（ ｘ ） ＝ ｆ （ １ ） ＝ ０ ， 此时函数ｆ （ ｘ ） 只有唯一ｆ （ｌｎ ｘ＋ｘ－ｘ， ｆ ′（ ｘ） ＝＋２ｘ－１＝２－ ｘ＋ １＞ ０恒成立， 故ｆ（ ｘ） 在（ ０ ， ＋∞） 上单调作为选择题， 本题可利用特值法排除不合题
五法并举,破解含参函数零点问题
