第7讲
动力学II 建立微分方程
本讲导学
上讲代表的是动力学里的最基本的套路，好好练习。
这讲处理的如何建立微分方程。竞赛中用微分方程处理的问题，一定都可以绕过微分方程解决。然而不论是用什么方法，建立方程的过程必然是一样的。
1、 步找出多少个独立变量，通过常见的各种约束，表达系统的变量。
2、 方程的来源可以是牛顿第二定律/角动量定理，也可以是XX守恒，本质上是相通的。
写方程的时候如果发现要算的变量在积分上下限的位置，或者在积分变量的位置，说明不应当对整个过程写方程，而是应当对某一小段过程写方程（即把积分方程化成微分方程）。
3、 消去无关的变量。例如要干掉v而算出x，t关系的时候，v显然应当为
dx，或者通过加减将dtv,dv等一起消掉。
例题精讲
上讲复习-关联
【例1】 在光滑的固定的，倾斜角度为?的水平面上，有一个半径为r的薄壁圆筒，外面饶了一圈绳
子，绳子一端接在天花板上。初始状态圆筒被挡板挡住，露出的绳子长度为l，然后突然撤掉挡板
（1） 求刚撤掉挡板的时候，圆筒的加速度和角加速度。
（2） 求这个瞬间绳子上与圆筒接触的点的加速度与圆筒上与绳子接触的点的加速度。
上讲复习-曲率半径
【例2】 半径R的大圆内，取半径r?
R
，小圆对应的滚轮线，求线上最大曲率半径?max， 4
1
解：内滚轮线又称内旋轮线内摆线设匀速纯滚动，小圆自转角速 角速度记为??，小圆圆心弦转角速度记为??，旋转速度记为v 则有，
??r?v???(R?r)????内滚轮线?max在园中P处，有 vp?2v?2??(R?r)
R?r?? ruuvap方向向上，大小为
?ap???2r???2(R?r)?……=uuvuuvap即为a心，得
R?r(R?2r)??2 r?max=?p=将r?vp2a心=4r(R?r)
(R?2r)R代入，即得 4?max?3R 2
上讲复习-惯性力
【例3】 在竖直平面上，设置图示的水平X轴和数值向下的y轴，t=0时刻位于x=0，y=0处的小水桶
从静止出发，以匀加速a0，沿X轴运动。过程中桶底小孔向下漏水，单位时间漏水质量为m0常量。略去漏水相对水桶的初速度，在任意t0?0时刻，试求： （1）漏水迹线方程；
（2）漏水迹线中的质量线速度?随y坐标的分布函数。
2
t=00a1.xgy
解（1）t0之前，于t时刻从桶底漏出的谁，在t0时刻的x，y坐标分别为
1211a0t?a0t(t0?t)?a0t2?a0tt0?at2??a0t2?a0tt0 222112111=a0t2?a0t0?a0tt0?a0t2?a0t2?a0(t0?t)2 222221y?g(t0?t)2
2x?得漏水迹线方程为：x?迹线如图1所示。
或者改去水桶参考系O'?x'y'，该系中每一滴漏水都沿题解图2所示a??a0?g方向作匀加速直线运动，其运动轨迹即为漏水迹线。t0时刻漏水迹线如题解图中虚线所示，方程为：
12a0a0t0?y 2gx'=-a012a012，y'?y，得x?a0t0y'，因x'?x?a0t0?y
g2g2
（2）如前所述，t0之前于t时刻才能够桶底漏出的水在t0时刻的x、y坐标分别为
1211x(t)?a0t0?a0(t0?t)2，y(t)?g(t0?t)2
222t0之前，于t?at时刻从桶底漏出水在t0时刻的x，y坐标分别为
x(t?dt)???y(t?dt)?
dt时间内质量为dm?m0dt的漏水，在t0时刻的x迹线中占据的dx??dy的长度dl为： dx?a0(t0?t0dt,dy??g(t0?t)dt，dl?dx2?dy2?a2?g2(t0?t)dt
其中dy为负，是因为y(t)?y(t?dt)，如题解图所示，迹线中y(t)处质量线度为
3
?(t)?m0dm ?22dla?g(t0?t)即t0?t?2y g代入，即得t0时刻迹线中质量迹线中质量线密度?随y坐标的分布式：
?(y)?m0a2?g22y gt0a0012at200x漏水迹线12gt20y题解图1.1022at00t0a00'xx'漏水迹线12gt20y'y题解图2.
1ott+dt2a0t0x(t+dt)x(t)2
xy(t+dt)y(t)12gt20题解图3y
【例4】 如图两个质量为m的方块，边长分别为l和l/2。方块上下面摩擦系数均为?。初始时刻，上
面的小方块速度为v0向右。要求最后小方块能停在大方块上，而不发生以下事情，求各参数应当满足的关系。
4
A 上面的方块不翻动 B 下面的方块不滑动 C 上面的方块不掉下来 D 下面的方块不反翻
v0
如何建立微分方程
【例5】 原题出自更高更妙的物理
如图一卷水管立在地上。铺开之后每层水管厚度为d，水管卷的总半径为R??d。开始的时候踢一脚，让水管卷滚起来，初态速度为v0??gR。在水管滚开的过程中没有能量损耗，求整个卷摊平需要多长时间。
【例6】
按照广义相对论的预言，加速运动的物体会引起引力场的变化，从而激发引力波，向外辐射能量。引力波的探测一直以来是非常困难的。一种判定引力波存在的证据是观察大质量双星系统的运动周期（或者中子星的脉冲）。我们把模型作如下简化：两个质量为m的星体绕着其质心作圆周运动。初始时刻两个星体之间距离为l。，当星体的加速度为a时，其引力波辐射功率为P?ka2，其中k是一个很小的常数。（万有引力常数为G，双星之间的引力作用可以用牛顿的万有引力公式计算） （1） 双星体系的周期变化0.01%需要经过多长时间。
（2） 按照这个理论双星越来越近，最后几乎相撞。估算相撞需要的时间。
【例7】 一根轻绳跨过具有光滑水平轴的定滑轮（质量可忽略），两个质量为m1和m2的人各抓住绳的
一端开始时，两人与水平轴之间的高度差分别为h1和h2，他们同时从绳上开始向上爬，并同时到达该滑轮水平轴处，试求所需时间t。 解法1.假设两人相对底面都是匀加速向上爬
T?m1g?m1a1，T?m2g?m2a2，T：绳中张力
h1?2(m1h1?m2h2)121 a1t，h2?a2t2?t?(m2?m1)g22解法2：按题目，不设匀加速上爬，从各人初位置出发，分别建立数值向上的y1??y2轴
d2y1d2y2d2T?m1g?m1(2)，T?m2g?m2(2)?(m2?m1)g?2(m1y1?m2y2)
dtdtdt引入Z?m1y1?m2y2，得
Z0tdZ?(m2?m1)g且Z|t?o?0 dt0??dZ??(m2?m1)gdt?Z?(m2?m1)gt
005
高二竞赛班第7讲 动力学II.教师版
