考 点 集 训 【p186】
A组
1．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在(a，b)内极大值点的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】若f(x)在(a，b)内可导，x0∈(a，b)，若在x0的左侧附近，有f′(x)>0，在x0的右侧附近，有f′(x)<0，则x＝x0为f(x)的极大值点，根据导函数f′(x)的图象可知，这样的点有两个，故选B.
【答案】B 2．函数f(x)＝
ln x
，则( ) x
A．x＝e为函数f(x)的极大值点 B．x＝e为函数f(x)的极小值点 1
C．x＝为函数f(x)的极大值点
e1
D．x＝为函数f(x)的极小值点
e【解析】f′(x)＝
1－ln x
(x>0)， x2当f′(x)＝0时， x＝e，
当x∈(0，e)时， f′(x)>0，函数f(x)递增，
当x∈(e，＋∞)时， f′(x)<0，函数f(x)递减，
所以当x＝e时， f(x)取得极大值，则x＝e为函数的极大值点，故选A.
【答案】A
3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为( ) A．1－e B．－1 C．－e D．0
1
【解析】f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，即x＝1，在(0，e]上列表如下：
x
x f′(x) f(x) (0，1) ＋ 增函数 1 0 极大值－1 (1，e) － 减函数 e 1－e 由于f(e)＝1－e，而－1＞1－e，从而f(x)最大为f(1)＝－1. 【答案】B
a
4．若x＝1是函数f(x)＝x3＋的一个极值点，则实数a＝__________．
xa
【解析】f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝3－a＝0，得a＝3.
x经检验，符合题意． 【答案】3
5．函数f(x)＝ln x－2x的最大值为__________． 【解析】由题意得， f(x)的定义域为(0，＋∞)， 111－x
则f′(x)＝－＝＝0
xxx
x＝1，
即f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， f(x)在x＝1处有最大值，即f(x)＝f(1)＝－2. 【答案】－2
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于__________． 【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
max
??f′（1）＝3＋2a＋b＝0，
依题意，? 2
?f（1）＝1＋a＋b＋a＝10.?
???a＝4，?a＝－3，
解得?或?
??b＝－11b＝3.??
??a＝－3，当?时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋9， ?b＝3?
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
所以f(x)在R上单调递增，此时f(x)在x＝1处并没有取得极值，不符合要求，舍去；
??a＝4，当?时，f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， ?b＝－11?
f′(x)＝3x2＋8x－11＝(x－1)(3x＋11)，
11
所以当－
3所以函数f(x)在x＝1处取得极小值10，符合要求， 此时f(2)＝23＋4×22－11×2＋16＝18. 【答案】18
7．已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值．
【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， a
f′(x)＝1－.
x
2
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x＞0)，
x因为f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
ax－a
(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0知：
xx
①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
8．已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； π
(2)求函数f(x)在区间?0，?上的最大值和最小值．
2??【解析】(1)因为f(x)＝excos x－x， 所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0. 又因为f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (2)设h(x)＝f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x. π
当x∈?0，?时，h′(x)≤0，
2??π
所以h(x)在区间?0，?上单调递减．
2??
π
所以对任意x∈?0，?有h(x)≤h(0)＝0，即f′(x)≤0，
2??π
所以函数f(x)在区间?0，?上单调递减．
2??
πππ
因此f(x)在区间?0，?上的最大值为f(0)＝1，最小值为f??＝－.
22???2?B组
1．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( ) A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7 C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点，只需Δ＝4a2－84a≤0，0≤a≤21，选A.
【答案】A
2．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )
A．20 B．18 C．3 D．0
【解析】因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝±1，所以x＝－1，x＝1为函数的极值点． 又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1， 所以在区间[－3，2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19. 又由题设知在区间[－3，2]上，f(x)max－f(x)min≤t， 从而t≥20， 所以t的最小值是20. 【答案】A
3．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 1?【解析】f′(x)＝ln x－ax＋x??x－a?＝ln x－2ax＋1， a<0时显然不合题意．
假设直线y＝2ax－1与曲线y＝ln x相切， 设切点为(x0，ln x0)，
11
则切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，即y＝x＋ln x0－1.
x0x0
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习文科数学导数及其应第17讲 考点集训(1)
