求极限的几种常用方法
约去零因子求极限
例如求极限
——，本例中当
时,
，表明与1无限接近，但
，所以 这一因子可以约去。
二、分子分母同除求极限
求极限
-型且分子分母都以多项式给出的极限
，可通过分子分母同除来求
三、分子（母）有理化求极限
例:求极限
3 、X2 1
分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式
lim x 3 - x .
2
、x2 1 二 lim
..x2 3 -x2 1 x2 3 , x2 1
x-^-bc
一 X2
=0
例：求极限
______ tan x - sin x .1 tan x - 一 1 sin x lim
x 10
3 x3 1 tan x ? 1 sin x x
二xTp'1+tanx+J1+sinx—
lim
1
tan x - sin x 1 lim
x
3
tan x -sin x 1
3
=2 xS x 4
本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
四、 应用两个重要极限求极限
两个重要的极限
在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利
用公式。
例：求极限 第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出 1，再凑 -，最后凑指数部分
五、利用无穷小量的性质求极限
无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。 这种方法可以处理一 个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 例：求 因为
， -，所以
六、用等价无穷小量代换求极限
常见等价无穷小有： 当 时，
等价无穷小量代换，只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应 作为首选。
例: 例：求极限
七、利用函数的连续性求极限
这种方法适合求复合函数的极限。如果 在点处连续，那么复合函数
在点处连续
在点处连续。
，而
也就说，极限号 例：求
所以
与可以互换顺序。 - -
-
八、用洛必达法则求极限
洛必达法则只能对-或-型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一， 然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在
——等于 时，那么
-- 存在且等于。如果 ---------- 不存在时，并不能断定 ---------- 也不存在, 这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论 例：求极限
---------------
——。
九、用对数恒等式求 极限
对于型未定义式，也可以用公式 因为
十、利用两个准则求极限
夹逼准则：若一正数 。当 有
利用夹逼准则求极限关键在于从 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出 两个有相同极限值的数列 例 ——
求的极限。
因为单调递减，所以存在最大项和最小项
又因为 所以 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推 公式求极限。
例，证明下列极限存在，并求其极限。
和，使得 —
。
时，有
，则
证明：从这个数列看yn显然是增加的。用归纳法可证 又因为 所以得 两端除以得 一 ,
.因为前面证明 是单调增加的。
因为
即 是有界的。根据定理则 则 所以
—则一
一，从而一
—
有极限且极限唯一。 令
yn
>.解方程得 ------------ ，因为
求极限的方法总结
