?BM的最大值为2?2， ?PBE的面积的最大值为2?1．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
7．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE． (1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形
，如图2． ①在旋转过程中，当∠直角边所对的锐角为30度)
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求出结果不必说明理由．
长的最大值和此时的度数，直接写
是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条
【答案】（1）DE⊥AG （2）①当∠【解析】
分析：（1）延长ED交AG于点H，证明
为直角时，α=30°或150°.②315°
≌
，根据等量代换证明结论；
，分两种情况
（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到求出的度数；
（3）根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF′长的最大值和此时的度数． 详解：
如图1，延长ED交AG于点H，
点O是正方形ABCD两对角线的交点，
，
，
在
和
中， ，
≌
， ，
， ，
，
即
；
在旋转过程中，
成为直角有两种情况：
Ⅰ由增大到过程中，当
，
时，
在中，sin∠AGO=，
，
，
，
，
即Ⅱ由同理可求
； 增大到
过程中，当， ．
时，
综上所述，当如图3，
时，或
．
当旋转到A、O、在一条直线上时，正方形ABCD的边长为1，
，
，
， ，
，
，
此时
．
的长最大，
点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想.
8．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B的坐标为(6，6)，将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连接CH、CG． (1)求证：△CBG≌△CDG；
(2)求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
(3)连接BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）45°；HG= HO+BG；（3）（2，0）． 【解析】
试题分析：（1）求证全等，观察两个三角形，发现都有直角，而CG为公共边，进而再锁定一条直角边相等即可，因为其为正方形旋转得到，所以边都相等，即结论可证． （2）根据（1）中三角形全等可以得到对应边、角相等，即BG=DG，∠DCG=∠BCG．同第一问的思路容易发现△CDH≌△COH，也有对应边、角相等，即OH=DH，
∠OCH=∠DCH．于是∠GCH为四角的和，四角恰好组成直角，所以∠GCH=90°，且容易得到OH+BG=HG．
（3）四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候．由上几问知DG=BG，所以此时同时满足DG=AG=EG=BG，即四边形AEBD为矩形．求H点的坐标，可以设其为（x，0），则OH=x，AH=6﹣x．而BG为AB的一半，所以DG=BG=AG=3．又由（2），HG=x+3，所以Rt△HGA中，三边都可以用含x的表达式表达，那么根据勾股定理可列方程，进而求出x，推得H坐标． （1）证明：∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF， ∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°． 在Rt△CDG和Rt△CBG中，
，
∴△CDG≌△CBG（HL）； （2）解：∵△CDG≌△CBG， ∴∠DCG=∠BCG，DG=BG． 在Rt△CHO和Rt△CHD中， ∵
，
∴△CHO≌△CHD（HL）， ∴∠OCH=∠DCH，OH=DH，
∴∠HCG=∠HCD+∠GCD=∠OCD+∠DCB=∠OCB=45°， ∴HG=HD+DG=HO+BG；
（3）解：四边形AEBD可为矩形．
如图，连接BD、DA、AE、EB，四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候． ∵DG=BG，
∴DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形， ∴当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形． ∵四边形DAEB为矩形， ∴AG=EG=BG=DG． ∵AB=6， ∴AG=BG=3．
设H点的坐标为（x，0），则HO=x ∵OH=DH，BG=DG， ∴HD=x，DG=3． 在Rt△HGA中，
∵HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x， ∴（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．
∴H点的坐标为（2，0）．
考点：几何变换综合题．
二、初三数学 圆易错题压轴题（难）
9．已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，AD?2，AB?BC?CD?6，动点P在射线BA上，以BP为半径的
P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、
PC，设BP?x，PC?y.
（1）求证：PE//DC；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD，当?PDC??B时，以D为圆心半径为R的值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）y?【解析】 【分析】
D与P相交，求R的取
36 5x?4x?36(0?x?9)；（3）0?R?2?1?根据梯形的性质得到?B??DCB，根据等腰三角形的性质得到?B??PEB，根据
平行线的判定定理即可得到结论；
?2?分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、G.推出四边形ADGF是矩形，
PH//AF，求得BF?FG?GC?2，根据勾股定理得到
AF?AB2?BF2?62?22?42，根据平行线分线段成比例定理得到
2112x，BH?x，求得CH?6?x，根据勾股定理即可得到结论； 333?3?作EM//PD交DC于M.推出四边形PDME是平行四边形.得到PE?DM?x，PH?即 MC?6?x，根据相似三角形的性质得到PD?EC?6?1218?，根据相切两圆的性55
上海市外国语大学附属实验数学几何模型压轴题检测题(Word版 含答案)
