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多普勒效应是如何测速的——从一道竞赛题谈起
索杨军 2015年2月16日
一、什么是多普勒效应
当火车迎面驶来时，听到的汽笛声变高；而车离去时，听到的汽笛声变低。这个现象和医院使用的彩超同属一个原理，那就是“多普勒效应”。
多普勒效应（Doppler effect）是为了纪念奥地利物理学家、数学家多普勒（Christian Johann Doppler）而命名的，他于1842年首先发现并提出了这一理论。
多普勒效应是指：当观察者或波源或它们二者均对介质运动时，观察者接收到的频率跟波源发射的频率一般是不同的。
电磁波的传播虽然不需要介质，但也存在着多普勒效应。
频率偏高简称蓝移，频率偏低简称红移。波发生的蓝（红）移的程度，跟观察者或波源相对于介质的运动有关，也就是说，存在着一定的对应关系，所以根据蓝（红）移的程度，当然可以计算出观察者或波源的运动速度。
那么多普勒效应究竟是如何测速的？让我们由浅入深，从天才的小学生都能看懂的一道中学物理竞赛题谈起，逐步深究，解开其神秘的面纱。
二、竞赛题的求解
如图A是在高速公路上用超声波测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波脉冲串，根据发出和接收的脉冲串的时间差，就可测出汽车的速度。图B中P1、P2是测速仪连续发出的两个超声波信号簇，N1、N2分别是P1、P2由汽车反射回来的超声波信号簇。测速仪匀速扫描，P1、P2之间的时间间隔（周期）为tP，N1、N2之间的时间间隔（周期）为tN，超声波在空气中的传播速度为v，求汽车的速度是多少？ 解：
通过tP和tN直接列出方程中学生难以理解。令发出P1、P2和接收N1、N2对应的时刻分 测速仪 fP fN 图A
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别为TP1、TP2、TN1、TN2，则。借助图C进行分析，设TP1时
刻测速仪在O点，汽车在A点，OA之间距离为s，TP1时刻发出的信号P1经过时间后
在B点跟汽车相遇并反射，再经过时间后，测速仪接收到N1，这就有了方程①；再设
TP2时刻汽车在C点，则CA之间距离为，TP2时刻发出的信号P2经过时
间后在D点跟汽车相遇并反射，再经过
D O C 0 0.5s 1s 时间后，测速仪接收到N2，这就有了方程②
P1 N1 tP tN P2 N2 图B
1.5s B A
图C
②-①得
则
将③④代入⑤，得
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顺便看图B知，tP＝0.9s，tN＝0.8s，而v＝340m/s，代入⑥式，得出图B的车速
三、多普勒效应的测速公式
上面得出的⑥式实际就是多普勒效应测速公式的一种形式——周期式。 若发射脉冲串的频率为fP，接收脉冲串的频率为fN，依据频率和周期的如下关系
将⑦代入⑥，可以得到多普勒效应测速公式的另一种形式——频率式：
分析⑧式，功德圆满，得到了如下结论：
1. 当2. 当3. 当
四、机械波测速公式的另类推导
以大学物理学过的机械波，笔者也导出了多普勒效应的测速公式，作为补充，附加于后，以作参考。这一方法中学生难以理解，不做强求，有待于以后去学习掌握。
因为波速只跟介质有关，所以：①波源相对于介质静止而观察者相对于介质运动时，是波速在变；②观察者相对于介质静止而波源相对于介质运动时，是波长在变。这二者是有区别的，易于混淆二者是初学者的误区。
先将汽车作为观察者，此时测速仪相当于波源，因观察者（汽车）相对于介质（空气）运动，故其接收到脉冲串的波速变为
，即接收到的频率等于发射频率时，，即接收到的频率大于发射频率时，，即接收到的频率小于发射频率时，
，汽车相对测速仪静止； ，汽车靠近测速仪运动； ，汽车远离测速仪运动。
因波源（测速仪）相对于介质（空气）静止，故波长λ未变，仍为
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则观察者（汽车）接收到脉冲串的出现频率F变为
再将测速仪作为观察者，此时汽车因反射脉冲串又成了波源，因观察者（测速仪）相对于介质（空气）静止，故其接收到脉冲串的波速未变，仍为，而波长却变了，为何？因波源（汽车）相对于介质（空气）在运动，故波长当然缩短了，变为
注意在上式中，波源（汽车）等于当初反射脉冲串的真实频率是F，这是为何？较难理解，详解于此，仔细品味。因为对于观察者（测速仪），包括其他任何的观察者，实际的反射频率近似于观察者（测速仪）在当时用眼睛能看到的光信号，而不等于观察者（测速仪）后来所接收到的声信号。①假设汽车只吸收不反射，接收频率当然不变还是F，而真实的反射跟接收是同时同步进行的，频率必然相同，也为F。②假设观察者（测速仪）向后倒退，其倒退的速度跟波源（汽车）前进的速度相等，即二者保持相对静止，这时观察者（测试仪）所接收到脉冲串的出现频率也不会变化，仍然等于F。
因波速未变、波长缩短，故观察者（测速仪）接收到反射脉冲串的出现频率变为
变形后，殊途同归，同样可得⑧式
需要强调的是，⑧式是针对题中的脉冲串推导出来的，对于有间隔的、不连续的脉冲串是适用的，那么对于每个脉冲内部的无间隔的、连续的超声波正弦信号是否还适用呢？当然适用。也就是说，即使测试仪发射的不是脉冲串，而是无间隔的、连续的超声波正弦信号，照样可以通过⑧式测出汽车的速度，不过此时的频率当然不再是脉冲串出现的频率，而是超声波自身的频率了。
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五、电磁波测速公式的简化处理
如前所述，电磁波的传播不需要介质，因此以上机械波测速公式的另类推导不适用于电磁波。但是：
1． 若以测速仪为参照系，根据爱因斯坦的光速不变原理，可知竞赛题的解法依然是可
行的，结论仍然是相同的。
2． 若以汽车为参照系，根据爱因斯坦的光速不变原理，虽然得到的结果和竞赛题不同，
但通过洛伦兹变换到测速仪参照系，会发现结论还是相同的。 因此⑧式对电磁波也成立，将v换作光速c，可得电磁波的测速公式
一般情况下，因
故多普勒效应很不明显，于是有
再将多普勒频移用专门的字母表示
则⑨式变为
⑩式就是电磁波的多普勒效应测速公式的简化式，即所谓的雷达测速公式之一。
六、用多普勒效应来解释学生的一个疑问
曾经碰到学生提出下列问题：向太空中静止的飞船发射光束，因为光有压力，会推动飞船远离，然后光束反射回来，根据爱因斯坦的光速不变原理，反射回的光速是不变的。于是飞船获得了机械能，而返回的光束能量也没有变，这不违背能量守恒定律了吗？
当然没有，根据多普勒效应，反射回的光束频率减小了。而光子的能量公式为：
其中，h≈6.62606957(29)×10 J·s，为普朗克常数，ν为光的频率而不是速度。可见光
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