aa?0，即a?0，则f(x)min?f(0)?;22aa?2?若?1，即a?2，则f(x)min?f(1)?1?;22aa2a?a2?3?若0??1，即0?a?2,则f(x)min?f()?224?a ?2,a?0??2a?a2综上?1??2??3?可得，m??,0?a?24??a?1?2,a?2??1?若
7、已知二次函数f(x)?x2?ax?1在区间[0,3]上的最小值为?2，求实数a的值。
a?a2?2【解】：y?x?ax?1??x???1?
2?4?a?1?当?0时，f(x)min?f?0???1??22aaa2?2?当0??3时，即0?a?6，f(x)min?f()??1???2，解得224 a??2,只有a?2满足条件。a103当?3，即a?6，f(x)?f(3)?8?3a??2,解得a????舍去?min23综合?1??2??3?，满足条件的a?2
8、已知f(x?1)?x2?2x?1，求函数y?f(x?1)?f(x?1)的最小值。 【解】：设x?1?u,则x?u?1,所以f(u)??u?1??2?u?1??1
y?f(x?1)f(x?1)??x?1??x?3??[?x?2??1]?1所以函数y?f(x?1)f(x?1)的最小值为1。
??an9、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，a3，共n个数据，规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：“与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小。”依此规定，求出a的值。
【解】：设a与各数据的差的平方和为f(a)，由题意得
22222 6
f(a)??a?a1???a?a2??...??a?an?222?na2?2?a1?a2?...?an?a?a12?a22?...?an2由于n?0,所以当a?a1?a2?...?an
时，函数f(a)取到最小值。na?a?...?an所以a的值为a?12，即多次测量取平均值。n
10、对于每一个正整数n，二次函数y?(n2?n)x2?(2n?1)x?1与x轴相交于An、Bn两点，用|AnBn|表示An、Bn两点的距离，求|A1B1|?|A2B2|?|A3B3|????|A2013B2013|的值。 【解】：令y??n2?n?x2??2n?1?x?1??nx?1?[?n?1?x?1]，则有
|AnBn|?11?nn?11??1??11??1|A1B1|?|A2B2|?...?|A2012B2012|??1???????...????
?2??23??20122013?12012?1??20132013
四、专题作业
已知函数f(x)?(m2?4m?3)x2m?m?1?1?3m是二次函数，求实数m的值。
2?m?1且m?32?1?m?4m?3?0?【解】：?2 解得? 所以 m??12m?1或m??2m?m?1?2????2
已知二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)满足条件：f(0)?2，f(1)??1，其图像在x轴上截得的线段长为22，求二次函数的解析式。 【解】：由题设条件得 ?c?2 ，所以f(x)?ax2?(a?3)x?2 ??a?b?c??1设ax2?(a?3)x?2?0(a?0)则??(a?3)2?8a?0，即a2?2a?9?0，解得a?R
a?3?x?x?2??12?a?3?8a??22，整理得7a2?2a?9?0， ，则x1?x2?????a?a?x?x?212?a?9解得a?1或a??
7
7
912所以二次函数的解析式为f(x)?x2?4x?2或f(x)??x2?x?2。
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已知0?x?1，求函数f(x)?x2?2ax的最大、最小值。 【解】：f(x)?x2?2ax?(x?a)2?a2，对称轴为x?a
（1）若a?0，则f(x)min?f(0)?0，f(x)max?f(1)?1?2a； （2）若a?1，则f(x)min?f(1)?1?2a，f(x)max?f(0)?0；
（3）若0?a?1，则f(x)min?f(a)??a2
?若0?a?12，则f(x)max?f(1)?1?2a
?若12?a?1，则f(x)max?f(0)?0。
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初三自主招生精品班讲义之专题2 二次函数（教师版）
