专题2 二次函数(教师版)
【定义】
?m?1且m?32?m?4m?3?0?? 一般地，把形如?2的函数称为二次函数，其中自变量?1的取
m?1或m????2m?m?1?2??2值范围是任意实数，它的图像是一条抛物线。
一、专题知识
1、基本公式
?c?21（1）二次函数m??的图像的顶点坐标为?；
2?a?b?c??1（2）二次函数的解析式的顶点式为：f(x)?ax2?(a?3)x?2； （3）二次函数的解析式的交点式为：ax2?(a?3)x?2?0(a?0)。
2、基本结论
（1）二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图像的对称性：关于直线x??b成轴对称图形。 2a（2）二次函数a?R的增减性：
a?3?x?x?2??12?a?3?8a??22上是减函数，在区间 ①当?时，在区间x1?x2????a?a?x?x?212?a?7a2?2a?9?0上是增函数；
912 ②当a?0时，在区间f(x)?x2?4x?2上是增函数，在区间f(x)??x2?x?2上是减函
77数。
（3）二次函数f(x)?x2?2ax?(x?a)2?a2的最大、最小值：
b ①当x?a时，x??，f(x)min?f(0)?0；
2ab ②当f(x)max?f(1)?1?2a时，x??，f(x)min?f(1)?1?2a。
2a（4）二次函数f(x)max?f(0)?0的图像与0?a?1轴的交点坐标为f(x)min?f(a)??a2。
1（5）二次函数0?a?的图像与f(x)max?f(1)?1?2a轴的交点情形：
21 ①当?a?1时，抛物线与f(x)max?f(0)?0轴有两个不同的交点；
2 ②当??0时，抛物线与x轴有一个交点； ③当??0时，抛物线与x轴没有交点。
1
二、例题分析
例1 已知当?1?x?0时，二次函数y?x2?4mx?3的函数值恒大于1，求实数m的取值范围。 【解】：二次函数y?x2?4mx?3的对称轴是直线x?2m，
1
（1）若2m??1时，即m?，当x??1时，y?1?4m?3?4m?4?1,
2
331解得：m??，???m??，
44212?16m21?1即可 （2）若 ?1?2m?0时，即??m?0，当x?2m时，只需y?42221?m?解得：??，???m?0， 222（3）若2m?0时，即m?0
当x?0时，只需y?3?1即可，所以m?0；
3综上（1）（2）（3）可得：实数m的取值范围是：m??.
4
例2 已知二次函数f(x)?2x2?bx?c满足下列两个条件：
23（1）当x??时，它是增函数，当x??时，它是减函数；
32（2）若方程f(x)?0的两根为x1、x2，且|x1?x2|?2。 求二次函数的表达式。
b3【解】：由于2?0及条件（1），所以对称轴x????，解得b?6；
422由条件（2），令f(x)?2x?6x?c?0
9??36?8c?0?c?......（1）
2?x1?x2??3??c代入 x1gx2???2|x1?x2|??x1+x2?2-4x1x2=2
55所以9-2c=4，解得c?，满足结论（1），所以f(x)?2x2?6x?。
22
5例3 已知抛物线y?x2?(2a?1)x?2a?与x轴只有一个公共点，
4（1）求实数a的值；
（2）求代数式a18?323a?6的值。 【解】：
2
5?0 ， 41?51?5,a2?化简得a2?a?1?0，解得a1?； 22（2） 由（1）得a2?a?1?0，则a4?(a?1)2?a2?2a?1?3a?2
（1） 由题设条件得，??x2?(2a?1)x?2a?同理a8?21a?13，a18?2584a?1597，
1111a?6?6?42??
aaga(3a?2)(a?1)8a?5再由a2?a?1?0得64(a2?a?1)?0，变形为64a2?64a?65??1
1即(8a?5)(8a?13)??1，所以a?6??13?8a
8a?5所以a18?323a?6?2584a?1597?323(13?8a)?5796
例4 抛物线y?x2?(k?1)x?k?1与x轴的两个交点分别为A、B，顶点为C，求△ABC面积的最小值。
【解】：设A、B两点的横坐标分别为x1、x2，由题意得：
AB?(x1?x2)?(x1?x2)2?4x1x2?k2?2k?5??????(1)
k?1k2?2k?5C(,?)??????(2)
24由（1）、（2）可得，
SVABC?112k2?2k?5?ABgyc?k?2k?5g?224
311132??(k2?2k?5)3?(k?1)?4?4?1??888（当且仅当k??1时等号成立）
所以当k??1时，?ABC面积的最小值为1.
三、专题训练
1、已知抛物线y?x2?3x?1与直线y?kx不想交，求实数k的取值范围。 【解】：
?y?3x2?3x?1，消去y得，??y?kxx2??3?k?x?1?0Δ?(3?k)2?4?0，解得?5?k??1.
2、二次函数y?4x2?4x?m的图像与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，求二次函数的解析式。
?1?【解】：二次函数y?4x2?4x?m图像的顶点为??，m?1?
?2?
3
设二次函数y?4x?4x?m图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、2令y?4x2?4x?m?0,则Δ?16-16m?0,解得m?1x2，则?x1?x2??1??m?|x1?x2|?1?mx1·x2??4?由于二次函数的图像与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，
|m-1|1则有?3，化简得4m2?5m?1?0,解得m?1?舍去?或m?141?m21所求的二次函数的解析式为y?4x2?4x?。4
3、已知x?a，求二次函数f(x)??x2?2x的最大值。 【解】：f(x)??x2?2x???x?1??1，得对称轴为x?1
2?1?当a?1时，f(x)max?f(1)?1?2?当a?1时，f(x)max?f(a)?2a?a2综合?1??2?可得，f(x)max?1,a?1??2?2a?a,a?1
4、是否存在二次函数，使其同时满足下列两个条件：
1（1）f(?1)?0；（2）对一切实数x，均有x?f(x)?(x2?1)成立。
2 若存在，求出二次函数的解析式；若不存在，说明理由。
【解】：假设存在满足条件的二次函数，其解析式为f(x)?ax2?bx?c?a?0?
4
由题意得：a?b?c?0，即b?a?c由于对一切实数x，均满足x?f(x)?1?a?b?c?1所以a?b?c?1,即b?a?c?1212?x?1?2?*?成立，不妨设x?1,则2??ax??a?c?1?x?c?0?1?于是?对于一切实数x都成立2???1?2a?x?2?a?c?x?1?2c?0?2?由?2?，若1?2a?0，则?1?变为x2?2x?1?0，此时不满足对于一切x都成立。1?0?a??2??所以1?2a?0,于是?*?变为??a?c?1?x2?4ac?0?2?4?a?c??4?1?2a??1?2c??0??整理得，?a?c??2?a?c??1?0和?a?c??2?a?c??1?0，即112a?c?0，只有a?c成立，所以a?c?，b?，所以存在这样的二次函数??42111解析式为：f(x)?x2?x?。424
5、二次函数f(x)满足条件：f(1?x)?f(1?x)且f(x)max?15，方程f(x)?0的两个根的立方和为17，求f(x)的解析式。
【解】：由于f(1?x)?f(1?x)得函数f(x)的图像的对称轴为直线x?1,于是
根据题中条件，设f(x)?a?x?1??15?a?0?令ax2?2ax?a?15?0的两个根为x1、x2，则Δ?4a2?4a?a?15??0，解得a?0?x1?x2?2??15x·x?1?12?a?222
由x12?x22??x1?x2??x1?x2??3x1x2?17，解得a??6所求的二次函数解析式为f(x)??6x2?12x?9
a6、若0?x?1，函数f(x)?x2?ax?的最小值为m，用a表示m。
2?2?
a?a?2a?a2a2【解】：f(x)?x?ax???x???，对称轴为x?
2?2?422
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初三自主招生精品班讲义之专题2 二次函数（教师版）
