第讲
高考要求
随机事件的概率 事件与概率 随机事件的运算 概率 古典概型 几何概型 两个互斥事件的概率加法公式 古典概型 几何概型 A B C B B ⑴事件与概率
①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别． ②了解两个互斥事件的概率加法公式． ⑵古典概型
①理解古典概型及其概率计算公式．
②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． ⑶随机数与几何概型
①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ②了解几何概型的意义．
知识精讲
板块一：事件及样本空间
（一）知识内容
1．必然现象与随机现象
必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；
随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．
2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．
一次试验是指事件的条件实现一次．
在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；
在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件． 通常用大写英文字母A，B，C，来表示随机事件，简称为事件．
3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为
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基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．
所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用?表示．
（二）典例分析
【例1】 下列说法：
①既然抛掷硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；
1②如果某种彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖；
10③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过让运动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；
1④一个骰子掷一次得到2的概率是，这说明一个骰子掷6次会出现一次2．
6其中不正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】 在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为85%”，这是指（ ）
A．明天该地区约有85%的地区降水，其它15%的地区不降水 B．明天该地区约有85%的时间降水，其它时间不降水
C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不会降水 D．明天该地区降水的可能性为85%
【例3】 下列事件：
①同学甲竞选班长成功； ②两队球赛，强队胜利了；
③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同； ④若集合A，B?C，则A?C； B，C，满足A?B，⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”， 画师抽到死签； ⑥从1，3，5，9中任选两数相加，其和为偶数； 其中属于随机事件的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例4】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：
⑴六月天下雪；
⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”； ⑶太阳从西边升起；
⑷当x≥100时，事件“lgx≥2”；
⑸数列{an}是单调递增数列时，事件“a2008?a2009”； ⑹骑车通过10个十字路口，均遇红灯．
【例5】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：
⑴在标准大气压下且温度低于0C时，冰融化； ⑵今天晚上下雨；
⑶没有水分，种子发芽；
⑷技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现； ⑸买彩票中一等奖；
⑹若平面?平面??m，n∥?，n∥?，则m∥n．
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【例6】 同时掷两枚骰子，点数之和在2~12点间的事件是 事件，点数之和为12点的事件是
事件，点数之和小于2或大于12的事件是 事件，点数之差为6点的事件是 事件．
【例7】 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．
⑴写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数； ⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件； ⑶“两次点数之和为6”这一事件包含了几个基本事件； ⑷“两次点数之差为1”这一事件包含了几个基本事件．
【例8】 一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，观察球的颜色．
⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数；
⑶“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件；
【例9】 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得
112到的数为y，结果为(x，y)．
4⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数；
⑶“x?y?5”这一事件包含哪几个基本事件？“x?3且y?1”呢？ ⑷“xy?4”这一事件包含哪几个基本事件？“x?y”呢？
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板块二：随机事件的概率
（一）知识内容
1．概率的统计定义
m，当n很大时，总是在某个常数附近摆n动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为P(A)． 一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率
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从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率P(A)满足：0≤P(A)≤1． 当A是必然事件时，P(A)?1，当A是不可能事件时，P(A)?0． 2．互斥事件与事件的并
互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 由事件A和事件B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或A，B都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和），记作C?AB．
若C?AB，则若C发生，则A、B中至少有一个发生，事件AB是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合．
3．互斥事件的概率加法公式：
若A、B是互斥事件，有P(AB)?P(A)?P(B) 若事件A1，，有P(A1A2，，An两两互斥（彼此互斥）
A2An)?P(A1)?P(A2)? ?P(An)．
事件“A1A2An”发生是指事件A1，A2，，An中至少有一个发生． 4．互为对立事件
不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作A． 有P(A)?1?P(A)． <教师备案>
1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．
2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．
随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆动，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率． 3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．
（二）典例分析
【例10】 对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下：
100 200 300 500 抽查件数 50 192 285 478 47 95 合格件数 根据上表所提供的数据，估计合格品的概率约为多少？若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需要抽查多少件产品？
【例11】 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数 进球次数 进球频率 8 6 10 8 12 9 9 7 10 7 16 12 60 45 100 74 （1）在表中直接填写进球的频率； （2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？
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【例12】 判断下列各对事件是否是相互独立事件
⑴ 甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加 演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．
⑵ 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
【例13】 设M和N是两个随机事件，表示事件M和事件N都不发生的是（ ）
A．M?N B．M?N C． M?N?M?N D．M?N
【例14】 抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件
C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．A与B B．B与C C．A与D D．C与D
【例15】 甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，
求：⑴ 2人都射中的概率？⑵ 2人中有1人射中的概率？
【例16】 （2019全国卷Ⅰ文）
甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
⑴ 求再赛2局结束这次比赛的概率； ⑵ 求甲获得这次比赛胜利的概率．
1【例17】 （08天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球
212次均未命中的概率为．
16⑴求乙投球的命中率p；
⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；
⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．
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高二数学讲义 概率初步
