Cluster态的核磁共振实验制备

Cluster态的核磁共振实验制备

张亚娟，轩亚楠，魏达秀?

【摘 要】利用一种优化的幺正算符制备了一种高度纠缠态——cluster态，这个优化的幺正算符因为只需要施加非选择性脉冲，其所用的时间被明显缩短．该文选择一个三量子位的自旋体系，在核磁共振仪器上进行了实验验证，实验过程中先制备了一个三量子位的纯态，然后通过施加优化的幺正算符即可得到三量子位的cluster态，实验结果证明了优化幺正算符的有效性． 【期刊名称】波谱学杂志 【年(卷),期】2014(031)001 【总页数】8

【关键词】核磁共振(NMR)；cluster态；量子计算

引言

量子计算，通过利用量子力学中态的叠加、相干、纠缠特性，使得在解决某些问题时比经典计算更快、更有效．围绕着量子力学的这些特点，人们提出了一系列的量子算法，包括Shor 算法[1]、Deutsch-Josza(D-J)算法[2–4]、Grover 量子搜索算法[5]、Brüschweiler 量子搜索算法[6]、Hogg 量子搜索算法[7]、指数搜索(orderfinding)[8]算法等．实验和理论都表明，这些量子算法的效率远远高于它们相应的经典算法．最近提出的单向量子计算(One-Way QC)[9,10]是一种新的量子计算模型，它通过预先制备一个高度纠缠态——cluster态，然后施加一系列的单量子比特测量就可以完成所需的量子计算任务．其思想与传统的基于幺正量子操作门的量子计算完全不同．其中cluster纠缠态的制备是整个单向量子计算任务能够顺利完成的基础．目前已经有多种

基于单向量子计算的量子信息处理过程在实验上得到了有效的验证[11–14]．例如单量子比特逻辑门和两量子比特逻辑门[13]，以及一个两量子比特搜索算法的实现和一个两比特D-J算法的实现[14]．本文介绍了利用一种优化的幺正变换产生cluster态的方法，通过选择合适的分子体系，该方法在核磁共振谱仪上得到了实验验证，其结果表明：针对所选择的物理体系，运用这种优化幺正变换制备cluster态所用的实验时间比用传统的方法所用的时间短．

1 基本理论

cluster态是一种新类型的多体量子纠缠态，设想d维空间的一组规则排列的格点，每个格点上都有一个量子比特，且初态都制备在态|000〉上，现在对所有相邻的量子比特之间施加一个控制相位反转操作[9] (1)式中I为单位矩阵，zσ为泡利算符．则得到的纠缠态

为cluster态．在(2)式中，C是所有格点的集合，aC∈是其中一个格点；Γ是高位格点的位置集合．根据上面的公式容易得到三自旋体系的cluster态为： 考虑一个包含3个核自旋的分子体系，用I1, I2, I3分别表示3个量子位，他们之间只存在标量耦合相互作用，其耦合常数假定为J12=J23=J, J13=0，其中J为耦合强度．考虑如下的3个算符：

S1，S2，S3满足[S1, S2]=S3，[S2, S3]=S1，[S3, S1]=S2，i为虚数．根据袁海东等人的研究成果[15]，可以得知S1，S2，S3之间满足下列关系式 (4)式中t1, t2和δ t满足关系式： 因此可以得到如下的等式， 其中α=

以上构造幺正算符的方法将3个自旋的相关转化为两两自旋的相关，而两两自

旋的相关在标量耦合自旋体系中是较容易实现的．另外，我们发现该算符正好可以用来产生三量子位的cluster态，即如果3个自旋最初处于纯态 |000〉，经过幺正变换的作用后体系的状态将会转变为态

对态φ施加一定的单量子操作便可以得到cluster 态．为了验证以上构造算符方法的有效性以及这种构造方法在制备cluster 态中的应用，我们在核磁共振谱仪上进行了实验验证．

2 实验过程

实验在Bruker AVANCE 500型液态谱仪上完成，选择的样品是溶解于DMSO中15N标记的乙酰胺，其分子式为NH2COCH3，其中基团-NH2中的两个H核分别代表自旋I1和I3，N表示自旋I2，两个H核之间的化学位移差为306 Hz，3个核自旋的耦合常数为：J12= J12= 88 Hz, J13= 0 Hz．实现幺正算符的核磁共振脉冲序列如图1所示．其中的演化时间，这样实现整个脉冲序列所用的时间为

利用以上幺正算符制备cluster态时，首先是要制备三量子位体系的有效纯态． 这里我们选用时间平均法分3步制备了纯态|000〉．这3步的积算符形式分别为从最初的热平衡态出发得到以上3种积算

符所用的脉冲序列分别为．其中PFG为梯度脉冲，是两个分别加在H通道和N通道的优化脉冲，优化脉冲是通过数值计算软件SIMPSON得到的，其脉冲长度为14 ms，其作用是将态制备了以上的初态|000〉后再对每个核自旋施加一个Hadamard门，体系就处于所有两个位的等权叠加相干态，之后再施加图1所示的脉冲序列就可以将以上3步中的积算符分别转换成为其和正是态φ对应的积算符形式．最后对自旋体系施加脉冲后就得到了cluster态对应的积算

符．

3 实验结果

图2显示了实验得到的谱图，其中左右两列分别对应核自旋H、N的谱图，H的图谱中，左边的H核代表自旋I1，右边的H核代表自旋I3．图2(a)是初态为纯态|000〉时分别对各个核自旋施加读脉冲得到的谱图，态|000〉所对应的积算符的形式对H核加脉冲后积算符变为，对H进行检测如图2(a)左列中的谱图，对N加脉冲后体系的积算符形式为对N通道进行检测就得到如图2(a)右列中的谱图．图2(b)为对初态|000〉施加幺正算符及单量子门后得到的cluster态对应的谱图，cluster态对应的积算符形式为

图 2(b)中的左右两列分别对应直接检测H核和N核得到的谱图．图2(c)为cluster态对应的模拟谱图．

因为cluster态是一种高度纠缠态，其积算符形式中的第1、2、3、7项都为多量子项，直接检测时最后的NMR谱图中没有这些多量子项的信息，为了更准确地检测幺正算符对应的脉冲序列的实现情况，我们对最后的cluster态施加了读脉冲使其积算符形式变为，这样第1、3项变成了单量子项，然后分别对H和N进行检测．图3显示了施加读脉冲后得到的谱图，左右两列分别为核自旋H，N的谱图，其中图3(a)、(b)分别为模拟和实验谱图（左右两列分别为H核和N核）．

4 结果与讨论

图2和图3中的实验谱图与模拟结果的一致性表明了我们成功地制备了三量子位的cluster态，并且验证了幺正算符的准确性，从初态|000〉到末态—cluster态的变换所用的时间为．对于同样的分子体系，如果用传统的量子门的

方法，往往需要运用选择性脉冲对每个核自旋进行选择性操作，而对于包含多个H核的量子体系，因为H核之间的化学位移相差不大，要选择性地操作单个H核时所需的脉冲时间会比较长，这样也使得制备cluster态所用的时间较长，本实验所用的脉冲基本上都是硬脉冲，脉冲结构清晰简单，易于分析和实验，所需的操作次数少．这里讨论的是三自旋体系中的幺正变换和cluster态的制备，文中(6)式的形式也可以推广到多自旋体系，如五自旋的幺正变换可以转化为两个三自旋算符S1的乘积，通过选择合适的核自旋体系，多自旋的幺正变换的实现也可以尽量避免选择性脉冲的使用．另外这种制备cluster态的方法也可以用到其他量子模型中，可以大大节省实验时间，提高实验的信号强度． 参考文献：

[1] Shor P. Polynomial-time algorithm for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer[J]. SIAMJ J Comput, 1997, 26(5): 484－509.

[2] Deutsh D, Jozsa R. Rapid solution of problems by quantum computation[J]. Proc R Soc Lond A, 1992, 439(907): 553－558.

[3] Cleve R, Ekert A, Mosca M, et al. Quantum algorithm revisited[J]. Proc R Soc London, Ser A, 1998, 454(960): 339－354.

[4] Collins D, Kim K W, Holton W C. Deutsch-Jozsa algorithm as a test of quantum computation[J]. Phys Rev A, 1998, 58(3): R1 633－R1 636. [5] Grover L K. Quantum mechanics helps in searching for a needle in a haystack[J]. Phys Rev Lett, 1997, 79(2): 325－328.

[6] Brüschweiler R. Novel strategy for database searching in spin