课时跟踪检测十六
一、题组对点训练 对点练一 正态曲线
1．以下关于正态分布密度曲线的说法中正确的个数是( )
①曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交； ②曲线关于直线x＝μ对称；
③曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状； ④曲线与x轴之间的面积为1. A．1 C．3
B．2 D．4
解析：选C 由正态分布密度曲线的特点，易知②③④说法正确，对于①，曲线与x轴不相交，①错误．
2．把一正态曲线C1沿着横轴方向向右平移2个单位长度，得到一条新的曲线C2.下列说法中不正确的是( )
A．曲线C2仍是正态曲线
B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差大2 D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2 ?x－μ?
解析：选C 正态密度函数为φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，正态曲2
2σ2πσ1
线对称轴为x＝μ，曲线最高点的纵坐标为φμ，σ(μ)＝
12πσ，所以曲线C1向右平移2个
2
单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以均值μ增大了2个单位．故选C.
3．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．三科总体的标准差相同
B．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同 C．丙科总体的平均数最小 D．甲科总体的标准差最小
- 1 -
解析：选D 由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙．故选D.
对点练二 正态分布下的概率计算
4．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ)，若P(ξ>3)＝0.012，则P(－1≤ξ≤1)＝( )
A．0.976 C．0.488
B．0.024 D．0.048
2
2
解析：选C 因为随机变量ξ服从正态分布N(1，σ)，故其正态曲线关于直线x＝1对1
称．又P(ξ>3)＝0.012，故P(ξ<－1)＝0.012，因此P(－1≤ξ≤1)＝－P(ξ<－1)＝0.5
2－0.012＝0.488.
5．已知随机变量X～N(0,1)，则X在区间[－3，＋∞)内取值的概率等于( ) A．0.887 4 C．0.001 3
B．0.002 6 D．0.998 7
11
解析：选D P(X≥－3)＝P(－3≤X≤3)＋＝0.998 7.
22
6．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)等于( ) A．0.16 C．0.68
2
2
B．0.32 D．0.84
解析：选A 由X～N(2，σ)，得正态曲线的对称轴为直线x＝2，如图所示，可知P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.故选A.
7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ)(σ>0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________．
解析：∵X～N(1，σ)，且P(0 对点练三 正态分布的应用 8．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间( ) A．(90,110]内 C．(100,120]内 解析：选C B．(95,125]内 D．(105,115]内 2 2 57 ＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内，即60 在区间(110－2×5,110＋2×5]内． - 2 - 9．某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________． 解析：由题意知P(ξ≥2)＝0.8，P(ξ≥6)＝0.2，∴P(ξ<2)＝P(ξ≥6)＝0.2.∴正态曲11 线的对称轴为直线x＝4，即P(ξ≥4)＝，即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为，∴ 22111 两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为×＝. 224 1答案： 4 ?1?10．工厂制造的某零件尺寸X服从正态分布N?4，?，问在一次正常试验中，取10 000?9? 个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围内的零件大约有多少个？ ?1?解：不属于区间(3,5)的概率为P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3 1 以μ＝4，σ＝. 3 11??所以1－P(3 所以不属于(3,5)这个尺寸的零件大约有26个． 二、综合过关训练 1．一批电阻的电阻值X(Ω)服从正态分布N(1 000,5)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011Ω和982 Ω，可以认为( ) A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 解析：选C ∵X～N(1 000,5)，∴μ＝1 000，σ＝5，∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985， 2 2 μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015. ∵1 011∈(985,1 015)，982?(985,1 015)， ∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂． 1??2．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是?10，?，则该随机变量 2??的方差等于( ) A．10 B．100 - 3 - C. 2 π D. 2 π 1?112?2 解析：选C 由正态分布密度曲线上的最高点为?10，?知＝∴D(X)＝σ＝. 2?π?2π·σ23．为了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，2)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( ) 2 A．997 C．819 B．954 D．683 解析：选D 由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5 σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683. 4．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，3)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) A．4.56% C．27.18% B．13.59% D．31.74% 2 1 解析：选B P(－3<ξ<3)＝68.26%，P(－6<ξ<6)＝95.44%，则P(3<ξ<6)＝×(95.44%2－68.26%)＝13.59%. 5．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，则这个正态总体的均值为________． 解析：正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值为1. 答案：1 6.某一部件由3个元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设3个电子元件的使用寿 命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,50)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________． 解析：由题意得，3个电子元件的使用寿命服从正态分布N(1 000,50)，则每个元件的使 2 2 - 4 - 1 用寿命超过1 000小时的概率均为，则元件1和2的使用寿命至少有一个超过1 000小时的 2113313 概率为1－×＝，故该部件使用寿命超过1 000小时的概率为×＝. 224428 3答案： 8 7．已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示． (1)写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式； (2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数百分比． 解：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ)，结合图象可知μ＝8 000，σ＝500. (1)此时农民工年均收入的正态分布密度函数表达式 ?x－μ?1?x－8 000? P(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞)． 2 2σ500 0002πσ5002π 1 (2)因为P(7 500＜ξ≤8 500)＝P(8 000－500<ξ≤8 000＋500)＝0.682 6. 1 所以P(8 000<ξ≤8 500)＝P(7 500＜ξ≤8 500)＝0.341 3. 2即此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数占总体的34.13%. 8．在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布X～N(90，100)． (1)试求考试成绩X位于区间(70,110]内的概率是多少？ (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩位于区间(80,100]内的考生大约有多少人？ 解：∵X～N(90,100)， ∴μ＝90，σ＝100＝10. (1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 4，而在该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110] 2 2 2 - 5 -
2019-2020学年高中数学课时跟踪检测十六正态分布
