北京师范大学燕化附属中学数学三角形解答题单元达标训练题（Word版 含答
案）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时， ①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
②设?AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
(2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.
【答案】（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②∠1=180°?2x,∠2=180°?2y； ③∠A=见详解 【解析】 【分析】
（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；
②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-
11（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=（∠2-∠1），2211∠1，y=90-∠2，再根据三角形内角221（∠1+∠2）； 2（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】
（1）①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，
其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE； ②）∵∠AED=x，∠ADE=y， ∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y， ∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=
③∠A=
1（∠1+∠2）； 211∠1，y=90-∠2， 22∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y， ∴x=90-
111∠1）-（90-∠2）=（∠1+∠2）． 222（2））∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到， ∴∠A′=∠A，
又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1， ∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，
即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°， 整理得，2∠A=∠2-∠1．
∴∠A=180°-x-y=190-（90-
1（∠2-∠1）． 2【点睛】
∴∠A=
此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
2．探究：
（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°+
1∠A． 2（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．
【答案】（1）见解析；（2）解析 【解析】 【分析】
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的性质进行解答即可：
11∠A＝∠P，理由见解析；（3）∠P＝90°﹣∠A，理由见22
（2）根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果，
（3）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明. 【详解】
证明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A． 又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC＝∠PCB＝
1∠ABC， 21∠ACB， 21（180°﹣∠A）， 211（180°﹣∠A）＝90°+∠A； 22∴∠PBC+∠PCB＝
根据三角形内角和定理可知∠BPC＝180°﹣（2）
1∠A＝∠P，理由如下： 211∠ABC，∠PCE＝∠ACE． 22∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠PBC＝
∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角， ∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P， ∴∴
111∠ACP＝∠ABC+∠A， 22211∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P， 221∴∠A＝∠P． 2（3）∠P＝90°﹣
1∠A，理由如下： 2∵P点是外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，∠P+∠PBC+∠PCB＝180° ∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝180°﹣＝180°﹣＝180°﹣
1（∠FBC+∠ECB） 21（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） 21（∠A+180°） 2
1∠A． 2【点睛】
＝90°﹣
本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解.
3．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： . 【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α． 【解析】
试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可； （3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系． 试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°， ∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α， ∵∠C＝90°，∠α＝50°， ∴∠1＋∠2＝140°，
故答案为140；
（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2， ∴∠1＋∠2＝90°＋∠α. 故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.
（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，
设DP与BE的交点为M，
∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1， ∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α. （4）如图④，
设PE与AC的交点为F， ∵∠PFD＝∠EFC，
∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC， ∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2， ∴∠2＝90°＋∠1－∠α. 故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α
点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.
4．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；
（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．
北京师范大学燕化附属中学数学三角形解答题单元达标训练题(Word版 含答案)
