欧阳科创编 2021.02.05
N阶复矩阵的若尔当标准型的过渡矩阵的计算
时间：2021.02.05 创作：欧阳科 郭静 136510053
摘要：设A是一个n阶复矩阵，存在过渡矩阵T，使
T?1AT?J(若而当标准型）的证明，计算和应用。
关键词：矩阵，过渡矩阵，若尔当标准型。
????1???0?01:形式为?0?00001000?1 定义
0??0???0????的矩阵称为若当块, 其中λ是复数, 由若干个若当块组成的准 对角矩阵称为若当形矩阵。由《高等代数》知:每个n 级复矩阵A 都与一个若当形矩阵J 相似, 这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被A 唯一确定的.它称为A 的若当标准形.
下面介绍一种确定T的方法。
设A 是一个n 阶复矩阵.求A 的若当标准形J , 并确定过渡矩阵T , 使得T?1AT?J, 我们可以按以下步骤进行:
第1 步:用初等变换求出?E?A的标准形B(λ), 同时求出
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相应的可逆λ-矩阵U1(λ)和V1(λ),使得:U1(λ)(?E-A)V1(λ)=B(λ). 第2 步:由B(λ)知A 的不变因子, 由此得出A 的初等因子, 再由初等因子写出A 的若当标准形J .
第3 步:用初等变换将?E -J 化为标准形B(λ)(因A ～ J , 所以
?E-A 与?E -J 等价, 因而它们有相同的标准形), 同时求出可
逆λ-矩阵U2(λ)和V2(λ), 使得:U2(λ)(?E -J)V2(λ)=B(λ). 第4 步:令U(λ)=
U2(?)?1U1(λ), V(λ)=(λ)
V1V2(?)?1则:
U(λ)(?E -A)V(λ)=?E -J . (1)
第5 步:求λ-矩阵Q(λ)、R(λ)和数字矩阵U0和V0, 使得: U(λ)=(?E-J )Q(λ)+U0 , (2) V(λ)=R(λ)(?E-J )+V0. (3)
定理设A 是一个n 阶复矩阵, 则以上方法求得的V0就是所要确定的过渡矩阵, 即若令T =V0,则T 可逆且T?1AT=J. 证明由(1)式和(3)式得:
U(?)?1(?E-J )=(?E-A)V(λ)=(?E-A)[ R(λ)(?E-J)+V0] ,
所以
?1U(?)[ -(?E-A)R(λ)] (?E-J )=(λE-A)V0.
令
?1U(?)T =-(λE-A)R(λ),
则
T(λE-J)=(λE-A)V0. (4)
因V0是数字矩阵, 比较(4)的两边即可知:T 必为数字矩阵.
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又
?1U(?)U(λ)T =U(λ)-U(λ)(λE-A)R(λ)
所以
?1?1U(?)V(?)E =U(λ)T +U(λ)(λE-J )R(λ)=[ (λE-J)Q(λ)+U0]T +(λ?1V(?)E-J )R(λ),
所以
?1V(?)E =U0 T +(λE-J )[ Q(λ)T +R(λ)] .
又因E 和U0T 均为数字矩阵, 所以上式右边第二项必为0 , 故E =U0T , 从而
?1U0T =代入(4)得:
?1U0(λE-A)=(λE-J)V0,
所以
λE-J =U0(λE-A)V0 =λ(U0V0)-U0AV0, 所以
U0V0=E 且J =U0AV0, 所以U0=
V0?1
, 且J =AV0.
因此, 若令T =V0, 则J =T?1AT.证毕. 下面，举例说明如何计算。
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N阶复矩阵的若尔当标准型的过渡矩阵的计算之欧阳科创编
