江苏省南通、扬州、泰州三市高三第二次调研测试（数学）

江苏省南通市2011届高三第二次调研测试

数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 曲线y?x3?2x在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 若

1?5i，则ab= ▲ ． ?a?bi（a，b?R，i为虚数单位）

3?i3．命题“若实数a满足a≤2，则a2?4”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）． 4． 把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm3的27个小正方体，现

从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．

5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例

分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．

1)，m?R?和N??bb?(1，1)?n(1，?1)，n?R?都是元素为向量6．设M??aa?(2，0)?m(0，的集

合，则M∩N= ▲ ．

7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的

a= ▲ ．

8．设等差数列?an?的公差为正数，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，

则a11?a12?a13? ▲ ．

9．设?，?是空间两个不同的平面，m，n是平面?及?外的两条不

同直线．从“①m⊥n；②?⊥?；③n⊥?；④m⊥?”中选

取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．

10．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(x+2)，当x??3，5?时，f(x)=2-x-4．下列四个

不等关系：fsinπf(sin2)．

()()；

f(sin1)>f(cos1)；fcos2π

其中正确的个数是 ▲ ．

y211．在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x??1的左、右焦点，△ABC 的

32顶点

C在双曲线的右支上，则

sinA?sinB的值是 ▲ ．

sinC12．在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，定义：

d(P，Q)=x1-x2+y1-y2． 已

，0)，点M为直线x-2y+2=0上的动点，则使d(B，M)取最小值时点M的坐知点B(1标是

▲ ．

13．若实数x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤10000，则x?z的最小值为 ▲ ．

yt14．在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数?，?，使得

uuuruuuruuur2OC=?OA??OB，则?2????3?的取值范围是 ▲ ．

【填空题答案】

1. x－y－2=0 2. ?8 3. 真 4. 26

25275. 2 6.

??2，0?? 7. 12 8. 105

1 29. ①③④?②（或②③④?①） 10. 1 11. ?12. 1，3 13. 1 14. ?2，???

250

??二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 如图，平面PAC?平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO

的中点，AB?BC?AC?4，PA?PC?22．求证： （1）PA?平面EBO； （2）FG∥平面EBO．

【证明】由题意可知，?PAC为等腰直角三角形，

E F A G O C

P ?ABC为等边三角形． …………………2分

（1）因为O为边AC的中点，所以BO?AC，

B (第15题)

因为平面PAC?平面ABC，平面PACI平面ABC?AC，

BO?平面ABC，所以BO?面PAC． …………………5分

因为PA?平面PAC，所以BO?PA，

在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，所以OE?PA， 又BOIOE?O，所以PA?平面EBO；…………………8分 （2）连AF交BE于Q，连QO．

因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，

A E Q F O G C

P 所以AO?2，且Q是△PAB的重心，…………………10分

OG于是

AQ?2?AO，所以FG//QO. …………………12分 QFOGB 因为FG?平面EBO，QO?平面EBO，所以FG∥平面EBO． …………………14分

【注】第（2）小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH//平面EBO证得.

16．（本小题满分14分） 已知函数f(x)?2cosx2?3cosx?sinx．

22?π，π?，且f(?)?3?1，求?的值； ?（1）设?????22??3（2）在△ABC中，AB=1，f(C)?3?1，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．

2xxx【解】（1）f(x)?23cos2?2sincos=3(1?cosx)?sinx=2cosx?π?3．……3

6222??分

由

2cosx?π?3?3?16??，得

cosx?π?1， ………………5分

62??于是x?分

πππππ，π?，?因为x?? ………………7?2kπ?(k?Z)，x??或．所以??22??6326π． ………………96（2）因为C?(0，π)，由（1）知C?分

因为△ABC的面积为3，所以3?1absinπ，于是ab?23. ① 2226在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.

由余弦定理得1?a2?b2?2abcosπ?a2?b2?6，所以a2?b2?7． ② 6??a?2，???b?3由①②可得或

??a?3，???b?2. 于是

a?b?2?3． ………………12分

由正弦定理得sinA?sinB?sinC?1，

ab12所

sinA?sinB?1?a?b??1?3． ………………14分 22以

17．（本小题满分14分）

22在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：x2?y2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A1、

abA2，

上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1的倾斜角的正弦值为1，圆C与以线段OA2为直

3径的圆

关于直线A1B1对称． （1）求椭圆E的离心率；

（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由； （3）若圆C的面积为?，求圆C的方程． 【解】（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），

A1 O B2 (第17题)

y B1 A2 x b因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为1，所以?1，

3a2?b232c于是a?8b，即a?8(a?c)，所以椭圆E的离心率e??7?14. …………284a222224分

（2）由e?14可设a?4k?k?0?，c?14k，则b?2k，

4于是A1B1的方程为：x?22y?4k?0， 故

OA2的中点

0??2k,到

A1B1的距离

d?2k?4k?2k， …………………………6分 3又以OA2为直径的圆的半径r?2k，即有d?r，

所以直线

A1B1与圆C相

切． …………………………8分

（3）由圆C的面积为?知圆半径为1，从而k?1， …………………………

210分

0?关于直线A1B1：x?22y?2?0的对称点为?m, n?， 设OA2的中点?1,则

?n2?m?1?4??1, ……………………?m?1n??22??2?0．?22……12分 解得m?1, n?42． 33所以，圆C的方程为x?13???2?y?423?2 …………………………?1．

14分18．（本小题满分16分） 如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的

半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地． （1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；

（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．

S T P Q R M B C D P Q A M N N （第17题甲） （第17题乙）

【解】（1）如右图，过S作SH⊥RT于H，

1S△RST=SH?RT． ……………………2分

2由题意，△RST在月牙形公园里， RT

与

圆

Q

只

能

相

切

或

相

离； ……………………4分