（面面平行→线线平行）
（ 3）如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
// 且 l l
空间角问题
（ 1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为 0 。②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点 成的角。
O，分别作与两条异面直线 a，b 平行的直线
a , b ，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所
④范围： 0,
2
（ 2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角： 规定为 0 。 ②平面的垂线与平面所成的角： 规定为 90 。③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这
条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角： “一作，二证，三计算” 。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息： （1）斜线上一点到面的垂线； （ 2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。 ④范围： 0,
2
（ 3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角，这条直线叫做
二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个
面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫二面
．． ．．． 角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
范围： 0,
6
空间中的垂直问题
（ 1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面 垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形）是直二面角（平面角是直角） ，就说这两个平面垂直。 (2)线线垂直
定义 : 直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，就说直线 叫做平面的垂线，该平面叫做这条直线的垂面
线面垂直的性质：
l 与平面 α互相垂直．该直线
a b
a b ;
线面垂直的判定定理
判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
a b a c
b c O
b, c
a
；
注意点： 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
推论： 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面
a∥b
a⊥α ? b⊥α
线面垂直的性质定理
（ 1）垂直于同一个平面的两条直线平行
a
a / /b .
b
（ 2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
a / / b
a
b
三垂线定理： 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直
三垂线定理的逆定理： 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也
7
和这条斜线的射影垂直 （ 3）面面垂直
定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 .
面面垂直的判定定理 ：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
.
l
l l
面面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
I
b
aa .
a b
·直线与方程
（ 1）直线的倾斜角： 对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转的最小正角叫做直线的倾斜角
直线的倾斜角 取值范围是 0°≤α＜ 180°
（ 2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当0,90 时， k
0 ；
当 时， k 0； 当
90 时， k 不存在。②过两点的直线的 斜率公式 ： kyy90 ,180
2 1
(x1 x2 )
x2
x1
（ 3）直线方程 ①点斜式： y y1 k( x x1 ) 直线斜率 k，且过点 x1, y1
②斜截式： y kx b ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式：
y
y1
xx
1
（ x1 x2 , y1 y2 ）直线两点 x1, y1 ， x2 , y2 x2 x1
④截矩式：
x
y2
y1
y 1其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截
a b 距分别为 a,b 。
⑤一般式： Ax By C 0 （A，B 不全为 0）
（ 4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系
平 行于 已知 直 线 A0 x B0 y C0
0 （ A0,B0 是不全为 0 的常数）的直线系：
A0 x B0 y C 0 （C 为常数）
（二）过定点的直线系
8
y0 k x x0 ，直线过定点 x0 , y0 ； （ ⅰ）斜率为 k 的直线系： y
（ ⅱ）过两条直线 l : A x B y C 0 ， 的交点的直线系方程为
1 1 1 1
l2 : A2 x B2 y C2
0
A1x B1 y C1 A2 x B2 y C2
0 （ 为参数），其中直线 l2 不在直线系中。
（ 5）两直线平行与垂直 当 l 1 : y k1 x b1 ， l 2 : y k 2 x
b2 时，
k1 k2
l1 // l 2 k1 k2 ,b1
b2 ； l 1 l 2
1
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（ 6）两点间距离公式： 设 A( x1 , y1 )，（B x2 , y2）是平面直角坐标系中的两个点，
则 | AB | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
Ax0 By0 C
（ 7）点到直线距离公式： 一点 P x0 , y0 到直线 l1 : Ax
By C
0 的距离 d
A 2 B 2
（ 8）两条平行线间的距离公式 ：两条平行线 l1 : Ax By
距离 d
C1
0 与 l1 : Ax By C2 0 间的
C1 C2 A 2 B 2
·圆的方程
1.定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆。定点就是圆心，定长就 是半径
2.圆的方程
（ 1）标准方程 x 当 D
a
2
y Dx
b 2 Ey
r 2 ，圆心 a, b ，半径为 r； F
D , E ，； 2
2
（ 2）一般方程 x 2 y2
2
0
E
2
4F
0 时，方程表示圆，此时圆心为D ,
2
E
2
，半径为 r
1 D 2 E 2 4F 2
当 D 2 E 2 4 F
0 时，表示一个点
22当 D E 4 F 0 时，方程不表示任何图形。
（ 3）求圆方程的方法：
一般采用待定系数法：先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a， b， r；若利用一般方程，需要求出 D， E， F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
· 点、线、圆的位置关系：
直线与圆的位置关系 有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： （ 1）设直线 l : Ax By
d
C r
0 ，圆 C : x
a 2 y b 2 r 2 ，圆心 C a, b
到 l 的距离为
Aa Bb
C
，则有 d
l与 C相离 ； d
r
l与 C 相切 ； d r
l与 C相
交
A2 B 2
（ 2）设直线 l : Ax By C 0 ，圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，先将方程联立消元，得到一个
一元二次方程之后，令其中的判别式为 ，则有
l 与 C相离 ； l与 C相交 0 l与C相切 ； 0 0 (3)过圆上一点的切线方程：
①圆 x2 2 2，圆上一点为 (x0， 0 ，则过此点的切线方程为 xx
+y =r y )
yy
0
r 2
0
课本命题 ．
( )
9
②圆 (x-a)2
，圆上一点为 (x0 ， 0 ，则过此点的切线方程为
+(y-b) =r y )
(课本命题的推广 )．
2
2
2
2
2
2
0 0 2
(x -a)(x-a)+(y -b)(y-b)= r
圆与圆的位置关系： 通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。
设圆 C1 : x a1
y b1r 2 ， C2 : x a2
y b2
R2
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。 当 d R r 时两圆外离，此时有公切线四条；
当 d R r 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当 R r d R r 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当 d R r 时，两圆内含； 当 d 0 时，为同心圆。
d R r 10
高中数学必修2知识点总结归纳整理
