2013年自主招生数学试题
一、选择题 1、已知
11?x?1，则?x的值为（ ）
xxy A B O P （第3题）
x A．?5 B．5 C．?3 D．5或1 2、小明在做一道数学选择题时，经过审题，他知道在A、B、C、D四个 备选
答案中，只有一个是正确的，但他只能确定选项D是错误的，于是他在其它三个选项中随机选择了B，那么，小明答对这道选择题的概率是（ ） A．
1 4B．
1 2C．
1 3D．1
11
3、如图，已知A(,y1)，B(2,y2)为反比例函数y?图像上的两点，动
2x
点P(x,0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（ ） A. (,0) B. (1,0) C. (,0) D. (,0)
4、在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连
线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）
123252A. 10或45 B.10或217 C.10 D.45 （第4题）
9x－a≥0
5、已知不等式组 的整数解为1、2、3，则适合这个不等式组的整数a、b的有序数对
8x-b﹤0
（a、b）共有（ ）个。
EA、17 B、64 C、72 D、81
B6、如图，E，B，A，F四点共线，点D是正三角形ABC的边AC的中点，点P是 直线AB上异于A，B的一个动点，且满足?CPD?30?，则 （ ） A．点P 一定在射线BE上 B．点P一定在线段AB上 C．点P 可以在射线AF上 ，也可以在线段AB上
D．点P 可以在射线BE上 ，也可以在线段AB （第6题） 7、如图，在△ABC中，AC?BC?AB，点P为△ABC所在平面内一点，
C
[来源:学科网] CADF△PBC，△PAC均是且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，等腰三角形， ．．
则满足上述条件的所有点P的个数为（ ） A．3
B．4
2
C．6 D．7
B A
（第7题）
8、已知f(x)=x+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0)， (x2，0)，且a3=8a-3.则a的值是( ) ?(1?x1)(1?x2)(1-6a-x1)(1-6a-x2)A、1 B、2 C、0或二、填空题
329、若a 10、如果不等边△ABC的两条高分别是4和12，第三条高也是整数，那么这条高的最大值是 。 11、一批志愿者组成了一个“爱心团队”,专门到全国各地巡回演出,以募集爱心基金.第一个月他们就募 集到资金1万元,随着影响的扩大,第n(n≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%,则当该月所募集到的资金首次突破10万元时,相应的据:1.2?2.5,1.2?3.0,1.27?3.6) 212、若关于x的方程(x?2)(x?4x?m)?0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的 n的值为 。(参考数 56长，则m的取值范围是 。 13、如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF 时，∠BAE的大小可以是 。 14、如图，已知A点从点（１，０）出发，以每秒１个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后， 以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且?AOC?60，又以P（０，４）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在直线相切，则t? 。 O （第13题） 15、有编号为①②③④的四条赛艇，其速度分别为V1、 V2、 V3、 V4（千米/时），且满足V1﹥ V2﹥ V3 ﹥V4﹥V水﹥0，其中V水为河流中水流速度（千米/时），它们在河流中进行追逐赛，其规则是：（1）四条艇在同一起跑线上同时出发，①②③号艇逆流而上，④号艇顺流而下；（2）经过1小时，①②③号艇同时掉头追赶④号艇，谁先追上谁就是冠军。则冠军是 （题序号）。 16、质数p、q、r满足p+q=r，且（r－p）（q－p）－27p是一个完全平方数，则满足条件的所有三元数组（p、q、r）= 。 1 0y P · C A B x （第14题） __________ ………一、选择题（每题5分，共40分） …题号 1 2 3 4 5 6 7 8 ………答案 …………………二、填空题（每题7分，共56分） ………… 9、 10、 11、 12、 …2013年自主招生数学答题卷 __…__密……_……13、 14、 15、 16、 _号……密考……三、简答题（54分） ……17、（12分）已知四个实数a,b,c,d，且a?b,c?d.若四个关系式： ……… ……__……b2?bc?4,c2?ac?8,d2?ad?8 同时成立， _…___……（1）求a?c的值； __……__………（2）分别求a,b,c,d__……的值. __………__…封 __……名封…… 姓…… ……… …… _……… __……___…… __………__…线__…… …__……_级…… 班…………… 线………… …………… ………… …… …… ……… …… … a2?ac?4，18、（14分）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q作CD⊥PQ， 分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E． （1）求 PA的值。 PB（2）若PQ=2，试求∠E度数。 19、（12分）如图，矩形ABCD是一个长为1000米、宽为600米的货场，A、D是入口．现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为L． （1）求L的最小值． （2）请指出当L取最小值时，收费站P和发货站台H的几何位置． 20、（16分）已知抛物线y?ax2?bx?c(0?2a?b)的顶点为P(x0,y0)，点A(1,y)A、B(0,yB)、C(?1,yC) 在该抛物线上。 （1）当a = 1，b = 4，c = 10时， ①求顶点P的坐标； ②求yA的值； yB?yCyA的最小值. yB?yC（2）当y0≥0恒成立时，求 一、选择题(每题5分，共40分) 1、B 2、C 3、D 4、A 5、C 6、B 7、C 8、D 二、填空题（每题7分，共56分） 9、a-b 10、5 11、14 12、3＜m≤4 13、15°或165° 14、43?1 15、① 16、（2、29、31） 17、(12分) 解：（1）由(a2?ac)+(c2?ac)=4+8=12，得(a?c)2?12， ∴ a?c??23. ?? 4分 （2）由(a2?ac)?(b2?bc)=4－4=0， (c2?ac)?(d2?ad)=8－8=0 得 (a?b)(a?b?c)?0，(c?d)(a?c?d)?0 ∵a?b，c?d, ∴a?b?c?0,a?c?d?0. ∴b?d??(a?c). ?? 2又(a2?ac)－(c2?ac)=4－8=－4， 得，(a?c)(a?c)??4. ?? 2当a?c?23时，a?c??233， 解得a?433，c?233， b?d??23. ?? 2 当a?c??23，a?c?233， 解得a??233,c??433， b?d?23. ?? 2 分 分 分 分 18、（14分）解答：（1）∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=∴PC=4，PD=2， ∵CD⊥PQ， ∴∠PQC=∠PQD=90°， ∴PC．PD分别是⊙O1、⊙O2的直径， 在⊙O1中，∠PAB=∠PCD， 在⊙O2中，∠PBA=∠PDC， ∴△PAB∽△PCD， ∴ = = = ， (7分) ， （2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2， ∴cos∠CPQ=∴∠CPQ=60°， ∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2∴sin∠PDQ= ， ，PQ=2， ， ∴∠PDQ=45°， ∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°， 又∵PD是⊙O2的直径， ∴∠PBD=90°， ∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45° 在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°， 答：∠E的度数是75°． （7分） 19、（12分） （每小题6分，共12分） 20、（16分）解：（1）当a = 1，b = 4，c = 10时，抛物线的解析式为y?x2?4x?10． ①∵y?x2?4x?10?(x?2)2?6，?????????????????（2分） ∴顶点P的坐标是(?2,6)．????????????????????（2分） ②∵点A(1,yA)、B(0,yB)、C(?1,yC)在抛物线y?x2?4x?10上， ∴yA?15，yB?10，yC?7．??????????????????（3分） ∴yA15??5．??????????????????????（1分） yB?yC10?7（2）由0?2a?b，得x0??b??1． 2a过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1?yA，OA1?1． 联结BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD?yB?yC，CD = 1． 过点A作AF∥BC交抛物线于点E(x1,yE)，交x轴于点F(x2,0)， 则?FAA1??CBD，∴Rt△AFA1∽Rt△BCD．????????????（1分） ∴ yA1?x2AA1FA1??1?x2．?????????????（1分） ，∴?yB?yC1BDCD过点E作EG⊥AA1于点G，易证Rt△AEG∽Rt△BCD．????????（1分） ∴ y?yE1?x1AGEG??1?x1．??????????????（1分） ，∴A?y?y1BDCDBC∵点A(1,yA)、B(0,yB)、C(?1,yC)、E(x1,yE)在抛物线y?ax2?bx?c上， ∴yA?a?b?c，yB?c，yC?a?b?c，yE?ax12?bx1?c． (a?b?c)?(ax12?bx1?c)?1?x1，∴（1分） c?(a?b?c)解得x1??2（x1?1舍去）．????（1分） ∵y0≥0恒成立，根据题意有x2≤x1??1， E 则1?x2≥1?x1，即1?x2≥3． ∴C F x2 y A B D G yA的最小值为3．???（2分） yB?yCx1 -1 A1 O 1 x
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