【第五部分】不定积分
1.书本知识（包含一些补充知识）
（1）原函数：F’（x）=f（x），x∈I，则称F（x）是f（x）的一个“原函数”。 （2）若F（x）是f（x）在区间上的一个原函数，则f（x）在区间上的全体函数为F（x）+c（其中c为常数） （3）基本积分表
?x??dx?1?x??1?c（α≠1，α为常数） ??1（4）零函数的所有原函数都是c （5）C代表所有的常数函数 （6）运算法则
①?a?f(x)?dx?a??f(x)?dx②??f(x)?g(x)??dx??f(x)?dx??g(x)?dx数乘运算
加减运算
线性运算
（7）复合函数的积分：?f??(x)??'(x)?dx?F??(x)??c
一般地，f(ax?b)?dx?（8）
?11??f(ax?b)?d(ax?b)??F(ax?b)?caa
?f(x?b)?dx?F(x?b)?c（9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的
函数一定不连续。
（10）不定积分的计算方法
①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法：
【解释：一阶微分形式不变性】
释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）?1x?a22?dx?lnx2?a2?x?c
（12）分段函数的积分 例题说明：?max1,x2?dx
（13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一
（16）隐函数求不定积分 例题说明：
（17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换
（19）其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充） ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法
（1）定义：若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c0,(c0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法 值得注意的问题：
??第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能够积出。
不能用普通方法积出的积分： 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 （1）多次分部积分的规律 （3）简单无理函数的积分
被积函数为简单式的有理式，可以通过根式代换化为有理函数的积分 小结：几分钟含有根号，应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。 【第六部分】定积分
1.书本知识（包含一些补充知识） （1）定义
（12）几种简化定积分的计算方法 ①关于原点对称区间上的函数的定积分
1、若函数f(x)在区间??a,a?上连续，则：?0?af(x)?dx????a?2?f(x)?dx?0a当f(x)为奇函数 当f(x)为偶函数
设f(x)是周期为T的周期函数，且连续。则：
???③sinnx,cosnx在?0,?上的积分?2?对于任意的自然数n(n?2)，有：?
（n为偶数） （n为奇数）
1??n?1n?3??...??22??nn?222nnsinx?dx?cosx?dx????00?n?1?n?3?...?2?1?3?nn?2?分的值无关，依然可以正常去求。 （14）极坐标与直角坐标的互化
大学微积分l知识点总结
