2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）
理科数学
｛?2，?1,0，1,2｝1．已知集合A?，B?x(x?1)(x?2?0,则AA．A???1,0? B．?0,1? C．??1,0,1? D．?0,1,2? 2．若a为实数且(2?ai)(a?2i)??4i，则a?
A．?1 B．0 C．1 D．2
3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是
2700 2600 2500 2400
??B?
2300
2200 2100
2000 1900
2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．已知等比数列?an?满足a1=3，a1?a3?a5 =21，则a3?a5?a7? A．21 B．42 C．63 D．84 5．设函数f(x)???1?log2(2?x),x?1,?2,x?1,x?1,f(?2)?f(log212)?
A．3 B．6 C．9 D．12
6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A．
1111 B． C． D． 8765开 始 输入a，是 是 a > b a ≠ b 否 否 输出a 结 束 7．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,?7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|?
A．26 B．8 C．46 D．10
8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a?
A．0 B．2 C．4 D．14
a = a - b b = b - a 试卷第1页，总4页
9．已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
D P C
A．36π B．64π C．144π D．256π 10．如图,长方形ABCD的边AB?2,BC?1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记?BOP?x.将动P到A、B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y?f(x)的图像大致为
A yyyyx O B
2222?4?23?4x??4?23?4x??4?23?4x??4?23?4x?(A)(B)(C)(D)
11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为
A．5 B．2 C．3 D．2
12．设函数f(x)是奇函数f(x)(x?R)的导函数，f(?1)?0，当x?0时，xf(x)?f(x)?0，则使得
''f(x)?0成立的x的取值范围是
A．(??,?1)(0,1) B．(?1,0)(1,??) C．(??,?1)(?1,0) D．(0,1)(1,??)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13．设向量a，b不平行，向量?a?b与a?2b平行，则实数??_________．
?x?y?1?0，?14．若x，y满足约束条件?x?2y?0,，则z?x?y的最大值为____________．
?x?2y?2?0,?15．(a?x)(1?x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a?__________． 16．设Sn是数列?an?的前n项和，且a1??1，an?1?SnSn?1，则Sn?________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）?ABC中，D是BC上的点，AD平分?BAC，?ABD面积是?ADC面积的2倍． （Ⅰ） 求
4sin?B；
sin?C2，求BD和AC的长． 2（Ⅱ）若AD?1，DC?
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18．（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． D1 F C1 19．（本题满分12分）如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中,AB=16，BC=10，
AA1?8，点E，F分别在A1B1，C1D1上，A1E?D1F?4．过点E，F的
平面?与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF与平面?所成角的正弦值．
222A1 E
D
B1
C
A B
20．（本题满分12分）已知椭圆C:9x?y?m(m?0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时3l的斜率，若不能，说明理由．
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21．（本题满分12分）设函数f(x)?emx?x2?mx．
（Ⅰ）证明：f(x)在(??,0)单调递减，在(0,??)单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x1,x2?[?1,1]，都有f(x1)?f(x2)?e?1，求m的取值范围． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与?ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点． （Ⅰ）证明：EF//BC； （Ⅱ） 若AG等于
且AE?MN?23，求四边形EBCF的面积． O的半径，
B M
A
G
E
O D
N
C F
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，曲线C1:??x?tcos?,（t为参数，t?0），其中0????，在以O为极点，x轴
?y?tsin?,正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:??2sin?，曲线C3:??23cos?． （Ⅰ）．求C2与C1交点的直角坐标；
（Ⅱ）．若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求AB的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设a,b,c,d均为正数，且a?b?c?d，证明： （Ⅰ）若ab?cd，则a?b?（Ⅱ）a?b?
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c?d；
c?d是a?b?c?d的充要条件．
2015年高考全国Ⅱ卷理科数学参考答案
题号 答案 1．A
【解析】由已知得B?x?2?x?1，故A2．B
【解析】由已知得4a?(a?4)i??4i，所以4a?0,a?4??4，解得a?0，故选B． 3．D
【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D． 4．B
4224【解析】设等比数列公比为q，则a1?a1q?a1q?21，又因为a1?3，所以q?q?6?0，2解得q?2，所以a3?a5?a7?(a1?a3?a5)q?42，故选B．
1 A 2 B 3 D 4 B 5 C 6 D 7 C 8 B 9 C 10 B 11 D 12 A ??B???1,0?，故选A．
2225．C
【解析】由已知得
f(?2)?1?log24?3，又log212?1，所以
f(log212)?2log212?1?2log26?6，故f(?2)?f(log212)?9，故选C．
6．D
【解析】由三视图得，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，截去四面体
D1C1A?A1B1D1，如图所示，，设正方体棱长为a，则
A1DB1C11115VA?A1B1D1??a3?a3，故剩余几何体体积为a3?a3?a3，
326661所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D．
57．C
【解析】由已知得kAB?AB3?212?7所以kABkCB??1，所以AB?CB，??，kCB???3，
1?434?1即?ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1,?2)，半径为5，所以外接圆方程为
(x?1)2?(y?2)2?25，令x?0，得y??26?2，所以MN?46，故选C．
8．B
【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为a?14，b?18；b?4；a?10；a?6；a?2；b?2，此时a?b?2程序结束，输出a的值为2，故选B．
答案第1页，总8页
2015年高考全国2卷理科数学试题及答案（精校word解析版）
