高等数学教案 1.4 两个重要极限

§1.4 两条极限存在准则 两个重要极限

【教学内容】：

1、夹逼准则

2、单调有界准则 3、两个重要极限

【教学目的】：

1、了解函数和数列的极限存在准则 2、会用两个重要极限求极限

【教学重点】：

应用两个重要极限求极限

【教学难点】：

应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。

【教学设计】：

首先通过几个具体的数列的求极限例子：从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识。介绍两条极限存在准则（夹逼准则，单调有界准则）及其利用他

sinx们求数列函数的极限（50分钟）。再介绍两个重要极限及lim?1(x为弧

x?0x度）的证明（20分钟），讲解例题（20分钟），课堂练习（10分钟）。

【教学内容】：

引入：考虑下面几个数列的极限

10001、limn???i?1n1n?i1n?i221000个0相加，极限等于0。

2、lim?n??i?1无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、limxn，其中xn?2?xn?1，x1?2，极限不能确定。

n??对于2、3就需要用新知识来解决 一、夹逼准则

夹逼准则：当x?U(x0,?)时，有f(x)?g(x)?h(x)，且limf(x)?A=limh(x)，

x?x0x?x0o则limg(x)?A。

x?x0

推论：设{xn}、{yn}、{zn}都是数列，且满足xn?yn?zn，又

limxn?limzn?A，则有limyn?A。

n??n??n??例1、 求lim?n??i?1n1n?i2。

解：因为

nn2?1?1n?11n?n22?1n2?1?1?1n2?1??????1n?n1?21n2?1?

nn?n2n?21n?n22?n???nn?n2

而limn???n?1n2?lim1n???n?n2?1

所以lim?n??i?1n?i2=1

注意：夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 二、单调有界准则

单调有界数列必有极限

（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在； （2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。 例2、已知xn?1?2?xn，x1?2，求limxn

n??分析：首先证明是有界的，然后证明是单调的，从而得出结论 解：1、证明极限存在

a) 证明有上界

x1?2?2，设xn?2?xn?1?2，则xn?1?2?xn?2?2?2

所以对任意的n，有xn?2 b) 证明单调上升

xn?1?xn?2?xn?xn?xn?xn?xn?2xn?xn?xn?xn?xn?0 所以limxn存在

n??

2、求极限

设limxn?l，则l?2?l，解得l?2（l??1舍去）

n??所以limxn=2

n??例3、设x0?0，xn?1?12(xn?)，求limxn

n??2xn分析：这是著名的牛顿迭代公式。先证明它是有界的，再证明它是单调上升的。 解：显然 xn?0。因为xn?1?212(xn?)?xn? ?2，所以数列{xn}有下界。2xnxn2121x2?xn又因为xn?1?xn?(xn?)?xn??n??0，所以数列{xn}单调下降，

2xnxn22xn即limxn存在。

n??12设limxn=l，则l?(l?)，解得l?2，所以limxn=2 n??n??2l三、两个重要极限

sinx1、lim； ?1(x为弧度）

x?0xsinx下面将证明第一个重要极限：lim?1。

x?0x证明：作单位圆，如下图：

设x为圆心角?AOB，并设0?x??2见图不难发现：S?AOB?S扇形AOB?S?AOD，即：

111sinx?x?tanx，即 sinx?x?tanx， 222x1sinx??cosx??1 ?1?sinxcosxx （因为0?x??2，所以上不等式不改变方向）

当x改变符号时，cosx,

?x及1的值均不变，故对满足0?x?的一sinx2