欧阳阳理创编 2021.03.04
大一上学期高数
期末考试
时间：2021.03.05 创作：欧阳理 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有( ).
（A）f?(0)?2 （B）
f(x)不可导.
设?(x)?f?(0)?1（C）f?(0)?0 （D）
1?x，?(x)?3?33x，则当x?1时（ ）1?x2. .
（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；
（B）?(x)与?(x)是等价无穷小；
（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小； （D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.
3. 若
F(x)??(2t?x)f(t)dt0x，其中
f(x)在区间上(?1,1)二
阶可导且f?(x)?0，则（ ）.
（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x?0处取得极小值；
（C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点；
（D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。
（A） （B）
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
4.
lim(1?3x)x?02sinxx22x2?22（C）x?1 （D）x?2.
? .
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5.
已知cosx是f(x)的一个原函数,x .
则?f(x)?cosxdx?x
6.
n??12lim?n(cos2?n?cos22??n?cos2n?1?)?n .
?7.
－x2arcsinx?11?x2dx? .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
12x?yy?y(x)e?sin(xy)?1确定，求y?(x)8. 设函数由方程以及y?(0).
19.
设函数f(x)连续，
limx?0g(x)??f(xt)dt0，且
f(x)?Ax，A为常数. 求g?(x)并讨论g?(x)在x?0处
的连续性.
1y(1)???xy?2y?xlnx9的解. 10. 求微分方程满足
四、 解答题（本大题10分）
11. 已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0)，过点(0,1)，
且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
12. 过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线
y?lnx及x 轴围成平面图形D.
求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周
所得旋转体的体积V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
(1)
13. 设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减，证明对任意
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q1的q?[0,1]，0?f(x)dx?q?f(x)dx0.
????0,?f(x)14. 设函数在上连续，且0?f(x)dx?0，
.证明：在?0,??内至少存在两个不
同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0.（提示：设
0?f(x)cosxdx?0xF(x)?） 解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
0?f(x)dx二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 解：方程两边求导
x?0,y?0，y?(0)??1
77x6dx?du 10. 解：u?x 5.
e6?1cosx2 ()?c . 6.2x.7. 2. 8.
?311. 解：?1?3f(x)dx??xedx???30?x102x?x2dx
12. 解：由f(0)?0，知g(0)?0。
x x?0续。
limg?(x)?limx?0xf(x)??f(u)dux02?A?AA?22，g?(x)在x?0处连
dy2?y?lnx13. 解：dxx
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大一(第一学期)高数期末考试题及答案之欧阳理创编
