2016-2017学年广东省广州市黄埔区八年级(下)期末数学试卷
（1）证明AE平分∠CAD．
（2）请探究AD+DF与CE的数量关系，并证明你的结论．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠E=∠CAE，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠E=∠CAE=22.5°，再由∠DAC=45°即可得解；
（2）过F作FG⊥AC于G，根据角平分线的性质得到DF=GF，AD=AG，根据等腰直角三角形的性质得到GF=DF=CG，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵CE=AC， ∴∠E=∠CAE，
∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠ACB=45°，∠DAC=45°， ∴∠E+∠CAE=45°，
∴∠E=∠CAE=×45°=22.5°，
∴∠DAF=∠DAC﹣∠CAE=45°﹣22.5°=22.5°， ∴AE平分∠CAD； （2）AD+DF=CE，
理由：过F作FG⊥AC于G， ∵AF平分∠DAC，∠D=90°， ∴DF=GF，AD=AG， ∵∠GCF=45°， ∴GF=DF=CG，
∴AC=AG+CG=AD+DF=CE， ∴AD+DF=CE．
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【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
24．（10分）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴的交点分别为B，C，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求点B，C的坐标．
（2）尺规作图，作点D，使A，B，C，D是构成菱形的四个顶点．并写出点D的坐标．
（3）若E（0，a）是平面直角坐标系上的定点，a=
，a，n均为非负整数，
点P是直线BD上的动点，求当CP+EP取得最小值时，点P的坐标．
【分析】（1）求出x=0时y的值，求出y=0时x的值，求出B、C的坐标； （2）先求出AB，BC，AC，判断出AC只能是菱形的对角线，再利用基本作图即可画出图象，最后利用菱形的性质求出点D的坐标；
（3）先求出直线BD的解析式和a的值，进而确定出点E的坐标，连接CE与直线BD的交点，就是点P，最后利用求两直线的交点坐标的方法即可得出结论． 【解答】解：（1）当x=0时，y=4， ∴C（0，4），当y=0时，0=﹣x+4， ∴x=3， ∴B（3，0）；
（2）如图1，由（1）知，B（3，0），C（0，4），
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∴BC=5， ∵A（﹣2，0）， ∴AB=5， ∴AB=BC=5，
∵A（﹣2，0），C（0，4）， ∴AC=2
，
∴AB=BC≠AC，
∵使A，B，C，D是构成菱形的四个顶点，
∴只有AC是以A，B，C，D为顶点的菱形的对角线，
作法：1、分别以点A，C为圆心大于AC为半径画弧，两弧相交于一点G， 2、过点G，B作直线BG交AC于E，
3、以E为圆心，BF为半径画弧交BE的延长线于D， 4、连接CD，AD， 即：点D为所求作的点； ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB，CD=AB=5， ∴D（﹣5，4）；
（3）如图，由（2）知，D（﹣5，4），B（3，0）， 设直线BD的解析式为y=kx+b， ∴
，
∴，
∴直线BD的解析式为y=﹣x+， ∵a=
，a，n均为非负整数，
∴a=2，n=0或a=1，n=3或a=0，n=4， 当a=0时，E（0，0），即：点E和点O重合， ∵CP+EP取得最小值，
∴点P是直线BD与y轴的交点，
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∴P（0，）；
当a=1时，E''（0，1） ∵CP+EP取最小值，
∴点P是直线BD与y轴的交点， ∴P（0，）；
当a=2时，E'（0，2）， ∵CP+EP取得最小值， ∴连接CE'交直线BD于点P' ∵A（﹣2，0），C（0，4）， ∴直线AC的解析式为y=2x+4 作点E'关于BD的对称点H， ∴E'H的解析式为y=2x+2， 设H（m，2m+2），
∴E'H的中点为（m，m+2）， ∵直线BD的解析式为y=﹣x+① m+=m+2， ∴m=﹣， ∴H（﹣，），
∴直线CH的解析式为y=﹣32x+4②， 联立①②解得，x=∴P（
，
），
，
），
，y=
∴满足条件的点P的坐标为（0，）或（
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【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的坐标特征，菱形的性质，基本作图，直线的交点坐标的求法，解（2）的关键是判断出以点A，B，C，D为顶点的菱形时，AC只能是菱形的对角线，解（3）的关键是求出直线CE的解析式．
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