1.3第3课时 函数的奇偶性

ruize

第一章 集合与函数概念

§1.3函数的基本性质第三课时 函数的奇偶性

一、课前准备 1．课时目标：

从具体函数出发，理解函数的奇偶性，学会利用图象理解和探讨函数的性质，能熟练判断一些简单函数的奇偶性。 2．基础预探

(1) 如果函数y?f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x都有

f??x???f?x?，则称y?f(x)是 .它的等价形式有 (2) 如果函数y?f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x都有f(?x)?f(x)，则称y?f(x)是 . 它的等价形式有 二、基本知识习题化

1. f(x)?x，x???1,1?是 22.y?xx是 函数（填写奇或偶）． 三、学习引领

1．函数按奇偶性分为四大类：

（1）奇函数：如果定义域关于原点对称（这一点说明了x与?x必须同时在定义域中），且对定义域内的任意x都有f??x???f?x?，则函数y?f?x?是奇函数. 如

f(x)?x3?x5；

（2） 偶函数：即如果定义域关于原点对称（这一点说明了x与?x必须同时在定义域中），且对定义域内的任意x都有f??x??f?x?，则函数y?f?x?是偶函数. 如f(x)?x?x26等；

（3） 非奇非偶函数：即函数的定义域不关于原点对称（这一点说明了存在x，使得x与

?x不同时在定义域中），或虽然定义域关于原点对称，但对定义域内的任意x有

f??x??f?x?，且f??x???f?x?，则函数y?f?x?是非奇非偶函数. 如f(x)?x?3，

ruize

f(x)?x3（x???1,1?）等；

（4）既奇又偶函数：解析式只有f(x)?0，但定义域可以为任何关于原点对称的区间. 2．判断函数y?f?x?的奇偶性，首先看定义域，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；如果定义域关于原点对称，则看对任意的x是否都有f??x???f?x?，或

f??x??f?x?，若满足前者则是奇函数，满足后者是偶函数，两者都不满足，则是非奇非偶

函数.

3．奇函数的图象关于原点对称；如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数. 偶函数的图象关于y轴对称. 如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 对于在原点有定义的奇函数y?f?x?，有f?0??0.

4．两个奇（偶）函数的和、差函数还是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积、商函数是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积、商函数是奇函数. 四、典例导析

题型一：函数的奇偶性的判断

例1判断f(x)?x?a?x?a的奇偶性．

思路导析：先看函数的定义域，显然是R，然后根据定义找f(?x)与f(x)的关系． 解：Q函数f(x)?x?a?x?a的定义域为R，

且 f(?x)??x?a??x?a??(x?a)??(x?a)?x?a?x?a?f(x)，

?函数f(x)是偶函数．

规律总结：如果定义域关于原点对称，才可根据定义判定函数奇偶性，否则直接下结论是非奇非偶函数，如果直接用定义判断有困难，也可用定义的等价形式． 变式1：已知函数f(x)?x2?1?1?x2，判断其奇偶性.

题型二：己知函数的奇偶性求参数 例2已知函数f(x)?3x?a??1?x?1?为奇函数，试求a,b的值.

x2?bx?4思路导析：己知函数的奇偶性，然后求参数，有时用特殊值法是很有效的，比如我们常用f?0??0可大大方便解题．

ruize

解析：由于f?x?为奇函数，且在x?0处有定义，所以f?0??0得a?0. 又f??1???f?1?，所以所以f(x)??33，所以b?0. ??5?b5?b3x，再利用定义可以证明f?x?为奇函数. 2x?4规律总结： 对于在原点有定义的奇函数f?x?，可以先令特殊值f?0??0，求出其中参数的值，当然如果参数多时也可以再取其它自变量的值来求，当然有时也可根据对于定义域内的任意x值恒成立的等式，借用待定系数法来求.

变式2： 设函数f?x???x?1??x?a?为奇函数，则实数a? 。

x题型三：分段函数的奇偶性

2??x(x?1),(x?0)例3判断函数f(x) = ? 的奇偶性．

2???x(x?1).(x＜0)思路导析：分段函数的奇偶性需要分段判断f(?x)与f(x)的关系，但函数的奇偶性是整个定义域上的性质，不能分段说明它的奇偶性．

解：当x＞0时，－x＜0，此时f(－x) =－(－x) (－x + 1) = x (x－1) =f(x)； 当x = 0时，f(－0) =f(0) = 0；

当x＜0时，－x＞0，此时f(－x) = (－x) (－x－1) =－x (x + 1) =f(x)． 因此，对任意x∈R，都有f(－x) =f(x)，所以函数f(x)为偶函数．

规律总结：函数的奇偶性是在关于原点对称的定义域内的重要性质，一定注意不能把定义域分开，“当x?0时，函数是偶函数；当x≥0时，函数是奇函数”这种提法本身就是错误的．

2??x，x?0变式3：判断函数f(x)??3的奇偶性．

??x，x≥0五、随堂练习

(1) 函数f?x??x?x的奇偶性为（ ）

3 A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 (2) 若函数y?f?x?在定义域?2a?1,a?上是偶函数，则a?（ ）

ruize

A．0 B．1 C．

11 D． 23(3) 下列说法中不正确的是( )．

A．图象关于原点成中心对的函数一定是奇函数 B．奇函数的图象一定经过原点

C．偶函数的图象不经过原点，则它与x轴交点的个数一定是偶数 D．图象关于y轴对称的函数一定是偶函数

(4) 已知f(x) = ax+ bx+ cx－8，且f(－2) = 10，则f(2) =__________．

1?x2(5) 判断函数f?x??奇偶性

x?2?2六、课后作业

(1) 对于定义域是R上的任何奇函数f(x)，均有( )．

A．f(x)－f(?x)＞0 (x?R) B．f(x)－f(?x)≤0 (x?R) C．f(x)·f(?x)≤0 (x?R) D．f(x)·f(?x)＞0 (x?R) (2) 设f?x?是R上的奇函数，且f?x?2???f?x?，当0?x?1时，f?x??x，则f?7.5??（ ）

A．1.5 B．?0.5 C．0.5 D．?1.5 （3）下列判断正确的是（ ） A．f?x??x?1?1?x是奇函数； B．f?x???x?1?21?x是偶函数； 1?xC．f?x??0既是奇函数又是偶函数； D．f?x??x3??2?x?2?是偶函数.

(4) 已知f(x)?ax?bx?4其中a,b为常数，若f(?2)?2，则f(2)的值等于( ) A ?2 B ?4 C ?6 D ?10 (5) 若f?x?是偶函数，则f1?2?f???1??? .

?1?2??（6）已知f?x?是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意a,b?R都

满足f?ab??af?b??bf?a?，求f?1?的值及判断f?x?的奇偶性.

ruize

-=答案=-与详解 基础预探

(1) 奇函数，f(?x)?f(x)?0，

f(?x)??1 f(x)f(?x)?1 f(x)(2) 偶函数，f(?x)?f(x)?2f(x)，

基本知识习题化

1. 既不是奇函数也不是偶函数 2.奇 典例导析

?x2?1?0变式1解析 原函数有意义必须?，即x??1. 所以原函数的定义域为??1,1?，关21?x?0?于原点对称.

而当x???1,1?时，原函数f(x)?0，所以原函数既是奇函数也是偶函数.

变式2：解析：由f?x?是奇函数知f??x???f?x?对于任意x?(??,0)?(0,??)均成立，则

(?x?1)(?x?a)(x?1)(x?a)，整理得a?1?0，即a??1. ???xx变式3：解：当x?0时，?x?0，存在x满足：f(?x)?(?x)?x?f(x)； 当x≥0时，?x≤0，存在x满足：f(?x)?(?x)??x??f(x)． 故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 随堂练习

(1) A 提示：根据函数奇偶性的定义，可判断函数f??x???f?x?； (2) D 提示：函数f?x?为偶函数，则定义域关于原点对称，所以a?(3) B提示：因为y =

23321. 31是奇函数，但其图象不过原点，故选B． x(4) －26提示：令g(x) =f(x) + 8 = ax+ bx+ cx，显然g(x)是奇函数，即g(－2) =－g(2)．