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综合测评(B)
(时间:120分钟,满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题中,真命题是( ). A.?x0∈R,≤0 B.?x∈R,2x>x2
C.a+b=0的充要条件是=-1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件 答案:D
解析:∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质得ab>1,
即a>1,b>1?ab>1.
2.已知命题p:?x∈R,x2-x+>0,则┐p为( ). A.?x∈R,x2-x+≤0 B.?x∈R,x2-x+≤0 C.?x∈R,x2-x+>0 D.?x∈R,x2-x+≥0 答案:B
3.双曲线=1的焦距是( ). A.4 B.2 C.8 D.与m有关 答案:C
解析:依题意a2=m2+12,b2=4-m2,所以c==4.所以焦距2c=8.
4.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|等于( ). A. B. C. D. 答案:D
解析:由已知可得2a-b=(2,2n,4)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2).
又(2a-b)⊥b,∴-8+2n-1+4=0. ∴2n=5,n=.∴|a|=.
5.椭圆=1上一点到两焦点的距离分别为d1,d2,焦距为2c,若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为( ). A. B. C. D. 答案:A
解析:依题意d1+d2=2a.而d1,2c,d2成等差数列,
所以d1+d2=4c.而2a=4c,所以e=.
6.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有如下关系:6+2+3,则( ). A.四点O,A,B,C必共面 B.四点P,A,B,C必共面 C.四点O,P,B,C必共面
信达
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D.五点O,P,A,B,C必共面 答案:B
解析:由已知得,而=1,∴四点P,A,B,C共面.
7.若命题“?x∈R,使x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为( ). A.1≤a≤3 B.-1≤a≤3 C.-3≤a≤3 D.-1≤a≤1 答案:B
解析:根据题意可得?x∈R,都有x2+(a-1)x+1≥0,
∴Δ=(a-1)2-4≤0,∴-1≤a≤3.
8.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( ). A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 答案:B
解析:∵y2=2px的焦点坐标为,
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p. ∴=p=2.
∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
9.如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足,则||2的值为( ).
A. B.2 C. D.
答案:D
解析:由题可知||=1,||=1,||=.<>=45°,<>=45°,<>=60°.
∴||2=
=···+2-×1×1×+1×-1×.
10.已知命题p:“若a>b>0,则loa 解析:对于命题p,当a>b>0时,有loa 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为( ). A. B. C. D. 答案:C 解析:建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1, 信达 -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------------------------------------- 则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1). ∴=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1). 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 则n·=0,n·=0. ∴令x=1,则n=(1,-1,-1), ∴cos ∴直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为. ∴直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为. 12.过M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为( ). A.2 B.-2 C. D.- 答案:D 解析:设直线m:y=k1(x+2),代入+y2=1得:x2+2(x+2)2-2=0,整理,得(1+2)x2+8x+8-2=0, Δ=(8)2-4(1+2)(8-2)>0,解得.设P1P2的中点P(x0,y0),则x0=,y0=k1(x0+2)=.∴k2=-.∴k1k2=-. 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则= .(用a,b,c表示) 答案:a+b+c 解析:)= =a+b+c. 14.命题p:若a,b∈R,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:函数y=的定义域是[3,+∞),则“p∨q”“p∧q”“┐p”中是真命题的有 . 答案:p∨q,┐p 解析:依题意可知p假,q真,所以“p∨q”为真,“p∧q”为假,“┐p”为真. 15.设F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|-|PF2|=1,则cos∠F1PF2= . 答案: 解析:椭圆焦点在y轴上,a2=4,b2=3,c=1,又P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=4,因为|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以cos∠F1PF2=. 16.如图,已知A(-3p,0)(p>0),B,C两点分别在y轴和x轴上运动,并且满足=0,,则动点Q的轨迹方程为 . 信达 -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------------------------------------- 答案:y=4px(p>0) 解析:设Q(x,y),因为,所以B. 又A(-3p,0),所以.由已知·=0,所以3px-y2=0,即y2=4px(p>0). 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分)已知命题p:不等式|x-1|>m-1的解集为R,命题q:f(x)=-(5-2m)x是减函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围. 解:由于不等式|x-1|>m-1的解集为R, 所以m-1<0,m<1; 因为f(x)=-(5-2m)x是减函数, 所以5-2m>1,m<2. 即命题p:m<1,命题q:m<2. 因为p或q为真,p且q为假,所以p和q中一真一假. 当p真q假时应有m无解. 当p假q真时应有1≤m<2. 故实数m的取值范围是1≤m<2. 18.(12分)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c. 求:(1)a,b,c; (2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值. 解:(1)因为a∥b,所以,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2). (2)由(1)得(a+c)=(5,2,3),(b+c)=(1,-6,1),因此(a+c)与(b+c)所成角的余弦值为cosθ==-. 19.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且a2=2b. (1)求椭圆的方程; (2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值. 解:(1)由题意得解得 所以b2=a2-c2=1,故椭圆的方程为x2+=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).联立直线与椭圆的方程得即3x2+2mx+m2-2=0,所以x0==-,y0=x0+m=,即M.又因为M点在圆x2+y2=5上,所以=5,解得m=±3. 20.(12分)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点. 2 (1)解:直线MN∥平面OCD; (2)求异面直线AB与MD所成的角的大小. 信达 -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------------------------------------- 解:作AP⊥CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,O(0,0,2),M(0,0,1),N. (1), 设平面OCD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,即 取z=,解得n=(0,4,). ∴·n=·(0,4,)=0. 又MN?平面OCD,∴MN∥平面OCD. (2)设异面直线AB与MD所成的角为θ, ∵=(1,0,0),, ∴cosθ=. ∴θ=,即异面直线AB与MD所成的角的大小为. 21.(12分)如图,椭圆E:=1(a>b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为8. (1)求椭圆E的方程; (2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. 解法一:(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8, 即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 所以4a=8,a=2. 又因为e=,即,所以c=1. 所以b=. 故椭圆E的方程是=1. (2)由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),所以m≠0且Δ=0, 即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*) 此时x0=-=-,y0=kx0+m=, 所以P.由得Q(4,4k+m). 假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上. 设M(x1,0),则·=0对满足(*)式的m,k恒成立. 因为=(4-x1,4k+m), 信达
高中数学人教A版选修2-1（新课标人教A版）高中数学选修2-1[综合测评](B)
