2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:00?9:40）
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
2x1．设全集是实数，若A={x|x－2≤0}，B={x|10－2=10x}，则A∩?RB是
( )
(A){2} (B){?1} (C){x|x≤2} (D) ?
ααα
2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin3＞cos3，则3的取值范围是( )
ππ2kππ2kππ
(A)(2k?+6，2k?+3)，k?Z (B)( 3+ 6，3+3)，k?Z
5πππ5π
(C)(2k?+6，2k?+?)，k?Z(D)(2k?+4，2k?+3)∪(2k?+6，2k?+?)，k?Z 3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )
333
(A) 3 (B) 2 (C)33 (D)63
4．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
54
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=3x+5的距离中的最小值是( )
343411(A) 170 (B) 85 (C) 20 (D) 30 ππ
6．设ω=cos5+isin5，则以?，?3，?7，?9为根的方程是( ) (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4?x3+x2?x+1=0 (C) x4?x3?x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsin(sin2000?)=__________．
n
3n
+a))=________. n
3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.
x2y2
4．在椭圆a2+b2=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的
3233
2．设an是(3?x)的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则n→∞lim(a+a+…
23
1 / 9
5－1
端点为B.若该椭圆的离心率是2，则∠ABF=_________.
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.
6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a?b，b?c，c?d，d?a；
(3)a是a，b，c，d中的最小值，
____
那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
Sn1．设Sn=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=(n+32)S的最大值．
n+1
2 / 9
1213
2．若函数f(x)=－2x+2在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．
22xy
3．已知C0：x2+y2=1和C1：a2+a2=1 (a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．
2000年全国高中数学联赛二试卷 （10月15日上午10∶00-12∶00）
一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证
明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．
A
M N
B C E F
D
3 / 9
二．（本题满分50分）
设数列{a n}和{b n }满足a0=1，a1=4，a2=49，且 ?an+1=7an+6bn－3，?n=0，1，2，…… ?bn+1=8an+7bn－4．
证明a n（n=0，1，2，…）是完全平方数． 三．（本题满分50分）
有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．
2000年全国高中数学联合竞赛试卷解答
第一试 一．选择题（本题满分36分，每小题6分）
2x1．设全集是实数，若A={x|x－2≤0}，B={x|10－2=10x}，则A∩?RB是
( )
(A){2} (B){?1} (C){x|x≤2} (D) ? 解：A={2}，B={2，－1}，故选D．
ααα
2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin3＞cos3，则3的取值范围是( )
ππ2kππ2kππ
(A)(2k?+6，2k?+3)，k?Z (B)( 3+ 6，3+3)，k?Z
5πππ5π
(C)(2k?+6，2k?+?)，k? Z(D)(2k?+4，2k?+3)∪(2k?+6，2k?+?)，k?Z
πα
解：满足sin?＞0，cos?＜0的α的范围是(2k?+2，2k?+π)，于是3的取值范4 / 9
2kππ2kππ围是(3+6，3+3)，
αααπ5ππ
满足sin3＞cos3的3的取值范围为(2k?+4，2k?+4)．故所求范围是(2k?+4，π5π
2k?+3)∪(2k?+6，2k?+?)，k?Z．选D． 3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )
333y(A) 3 (B) 2 (C)33 (D)63
B3
x解：A(－1，0)，AB方程：y=3(x+1)，代入双曲线方程，解AOC得B(2，3)， ∴S=33．选C．
4．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
2p+qp+2q2
解：a=pq，b+c=p+q．b=3，c=3； 11222△=a－bc=pq－(2p+q)(p+2q)=－(p－q)<0．选A． 499
54
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=3x+5的距离中的最小值是( )
343411(A) 170 (B) 85 (C) 20 (D) 30 |25x－15y+12|
解：直线即25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离=
534
|5(5x－3y+2)+2|=．
534
∵5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B．
ππ
6．设ω=cos5+isin5，则以?，?3，?7，?9为根的方程是( ) (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4?x3+x2?x+1=0 (C) x4?x3?x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0
解：ω5+1=0，故?，?3，?7，?9 都是方程x5+1=0的根．x5+1=(x+1)(x4－x3+x2
－x+1)=0．选B．
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2全国高中数学联赛试题及解答
