折叠与落点有迹性
【例题】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=5,BC=8,点P是射线BC上一动点,连接AP,将△ABP沿AP折叠,当点B的对应点B’落在线段BC的垂直平分线上时,则BP的长等于
AB'BPC
【答案】10或
5. 2【解析】解：点B’的运动轨迹是以点A为圆心以AB的长为半径的圆,圆与BC的垂直平分线的交点即为所求的落点B’,
如图作出图形,
B'AB'BC
分两种情况计算：
①连接BB’,过B’作B’E⊥BC于E,如下图所示,
AB'BPEC
由题意知,BB’=B’C,BP=B’P,BE=EC=4,BB’⊥AP,
∴∠B’BC=∠B’CB,∠B’BC+∠APB=90°,∠B’CB+∠CB’E=90°, ∴∠APB=∠CB’E,∴△CB’E∽△APB,∴
ABBP5BP,即?, ?4B'ECEB'E设BP=x,则B’P=x,EP=4－x,B’E=
4x, 522?4?52在Rt△B’PE中,由勾股定理得：x??x???4?x?,解得：x=10（舍）或x=,
2?5?即BP=
5； 2MB'②过A作AH⊥MN于H,如图所示,
AHBGNCP
∵AB=AB’=5,AH=4,GH=5, ∴B’H=3,B’G=8,
设BP=x,则B’P=x,PG=x－4,
在Rt△PGB’中,由勾股定理得：x2?82??x?4?, 解得：x=10,即BP=10; 综上所述,答案为：10或
25. 2【变式】如图,在边长为 3 的等边三角形ABC中,点D为AC上一点,CD=1,点E为边AB 上不与A,B重合的一个动点,连接DE,以DE为对称轴折叠△AED,点 A 的对应点为点 F,当点 F 落在等边三角形ABC的边上时,AE 的长为 ．
【答案】1或5－13.
【解析】解：第一步：确定落点,点F在以D为圆心,以线段AD的长为半径的弧上,如下图所示,
AFBFDC
第二步,根据落点确定折痕（对称轴）
（1）∵AD=DF=2,∠A=60°,∴△ADF是等边三角形, ∵DE平分∠ADF, ∴AE=EF=1；
AEFBDC
（2）如下图所示,
AEDBFC
由对称知,∠EFD=∠A=60°,∴∠EFB+∠DFC=120°, ∵∠DFC+∠FDC=120°,∴∠EFB=∠FDC, ∵∠B=∠C=60°, ∴△BEF∽△CFD, ∴
BEEFBF, ??CFDFCD设AE=x,则BE=3－x,
3?xxBF, ??CF212?3?x?x∴BF=,CF=,
x2即
∵BF+CF=3,
2024年中考数学压轴题提升训练折叠与落点有迹性含解析
