∴∠GCB+∠CBG=90， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE=90°=∠A，BC=AB， ∴∠FBA+∠CBG=90， ∴∠GCB=∠FBA， ∴△ABF≌△BCE（ASA）；
（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H， 设AB=CD=BC=2a， ∵点E是AB的中点， ∴EA=EB=AB=a，
∴CE=a，
在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG?CE=CB?EB， ∴BG=
a，
∴CG==a，
∵∠DCE+∠BCE=90°，∠CBF+∠BCE=90°， ∴∠DCE=∠CBF，
∵CD=BC，∠CQD=∠CGB=90°， ∴△CQD≌△BGC（AAS）， ∴CQ=BG=
a，
∴GQ=CG-CQ=a=CQ，
∵DQ=DQ，∠CQD=∠GQD=90°， ∴△DGQ≌△CDQ（SAS）， ∴CD=GD；
（3）解：如图3，过点D作DH⊥CE于H，
S△CDG=?DQ=CH?DG，
∴CH==a，
在Rt△CHD中，CD=2a，
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∴DH==a，
∵∠MDH+∠HDC=90°，∠HCD+∠HDC=90°， ∴∠MDH=∠HCD， ∴△CHD∽△DHM， ∴
，
∴HM=a，
在Rt△CHG中，CG=a，CH=a，
∴GH==a，
∵∠MGH+∠CGH=90°，∠HCG+∠CGH=90°， ∴∠QGH=∠HCG， ∴△QGH∽△GCH， ∴∴HN=
， =a，
∴MN=HM-HN=a，
∴=
【解析】
（1）先判断出∠GCB+∠CBG=90，再由四边形ABCD是正方形，得出∠CBE=90°=∠A，BC=AB，即可得出结论；
（2）设AB=CD=BC=2a，先求出EA=EB=
AB=a，进而得出CE=a，再求出BG=a，CG═
a，再判断出△CQD≌△BGC（AAS），进而判断出GQ=CQ，即可得出结论；
（3）先求出CH=出GH=
a，再求出DH=a，再判断出△CHD∽△DHM，求出HM=
=
a，再用勾股定理求
a，最后判断出△QGH∽△GCH，得出HN=a，即可得出结论．
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此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△DGQ≌△CDQ是解本题的关键．
4（2019?广西贺州?3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为 6﹣2 ．
【分析】作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM＝4，利用勾股定理计算出AE═2
，再根据旋转的性质得到AG＝AE＝2
，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，
∠ABG＝∠D＝90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着证明FA平分∠GAD得到FN＝FM＝4，然后利用面积法计算出GF，从而计算CG﹣GF就可得到CF的长．
【解答】解：作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM＝4， ∵正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点， ∴DE＝2， ∴AE＝
＝2
，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG， ∴AG＝AE＝2而∠ABC＝90°，
∴点G在CB的延长线上， ∵AF平分∠BAE交BC于点F， ∴∠1＝∠2，
∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即FA平分∠GAD， ∴FN＝FM＝4， ∵
，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，
AB?GF＝FN?AG，
＝2
，
＝6﹣2
．
∴GF＝
∴CF＝CG﹣GF＝4+2﹣2故答案为6﹣2
．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等
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于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
2. （2019?广东省广州市?3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝则下列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+
）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值
BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，
a2．
其中正确的结论是 ①④ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题．
②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可解决问题．
④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝∵BE＝BH，∠EBH＝90°， ∴EH＝
x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．
BE，∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠FAE＝∠EHC＝135°， ∵BA＝BC，BE＝BH， ∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH， ∵∠ECH+∠CEB＝90°， ∴∠AEF+∠CEB＝90°， ∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB＝∠DCH， ∴∠ECH＝∠BCD＝90°， ∴∠ECG＝∠GCH＝45°， ∵CG＝CG，CE＝CH， ∴△GCE≌△GCH（SAS）， ∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE， ∴EG＝BE+DG，故③错误，
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∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AG+GH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误， 设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝∴S△AEF＝∵﹣∴x＝
?（a﹣x）×x＝﹣
x， ax＝﹣
（x2﹣ax+
x2+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，
＜0，
a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，
故答案为①④．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 3. （2019?广西北部湾经济区?3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH=______． 【答案】
【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD， ∴BD=8， ∵S菱形ABCD=∴AC=6， ∴OC=∴BC=
AC×BD=24，
AC=3，
=5，
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2020中考数学全等三角形专题复习(含解析)
