全等三角形
一.选择题
1. （2019?河南?3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，
C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．2
B．4
C．3
D．
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据
ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代换得到FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长． 【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC． ∵AD∥BC， ∴∠FAO＝∠BCO． 在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA）， ∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1． 在△FDC中，∵∠D＝90°， ∴CD2+DF2＝FC2， ∴CD2+12＝32， ∴CD＝2故选：A．
．
1
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
2.（2019?浙江湖州?3分）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM＝AB，利用勾股定理即可求得．
【解答】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM＝PB， ∴PM＝AB， ∵PM＝∴AB＝故选：D．
，
＝
，
【点评】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
3. （2019?贵州省安顺市?3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D
B．AC＝DF
C．AB＝ED
D．BF＝EC 【解答】解：选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误； 选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误． 故选：A．
2
二.填空题
1. （2019?天津?3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为 .
【答案】
49 13【解析】因为四边形ABCD是正方形，易得△AFB≌△DEA，∴AF=DE=5，则BF=13. 又易知△AFH∽△BFA，所以
AHAF60120，即AH=，∴AH=2AH=，∴由勾股定理得AE=13，∴?1313BABFGE=AE-AG=
49 132. （2019?广西北部湾经济区?3分）如图，AB与CD相交于点O，AB=CD，∠AOC=60°，∠ACD+∠ABD=210°，则线段AB，AC，BD之间的等量关系式为______．
【答案】AB2=AC2+BD2 【解析】
解：过点A作AE∥CD，截取AE=CD，连接BE.DE，如图所示： 则四边形ACDE是平行四边形， ∴DE=AC，∠ACD=∠AED， ∵∠AOC=60°，AB=CD， ∴∠EAB=60°，CD=AE=AB， ∴△ABE为等边三角形， ∴BE=AB，
∵∠ACD+∠ABD=210°， ∴∠AED+∠ABD=210°，
∴∠BDE=360°-（∠AED+∠ABD）-∠EAB=360°-210°-60°=90°， ∴BE2=DE2+BD2， ∴AB2=AC2+BD2；
故答案为：AB2=AC2+BD2．
过点A作AE∥CD，截取AE=CD，连接BE.DE，则四边形ACDE是平行四边形，得出DE=AC，∠ACD=∠AED，证明△ABE为等边三角形得出BE=AB，求得∠BDE=360°-（∠AED+∠ABD）-∠EAB=90°，由勾股定理得出BE2=DE2+BD2，即可得出结果．
本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、四边形内角和等知识，熟练掌握平行四边形的性质、通过作辅助线构建等边三角形与直角三角形是解题的关键．
3
3. （2019?广东省广州市?9分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△
ADE≌CFE．
【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE． 【解答】证明：∵FC∥AB， ∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F， 在△ADE与△CFE中： ∵
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS．
2. （2019?贵州省安顺市?12分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把
AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断． AB，AD，DC之间的等量关系 ；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）AD＝AB+DC
理由如下：∵AE是∠BAD的平分线 ∴∠DAE＝∠BAE ∵AB∥CD ∴∠F＝∠BAE ∴∠DAF＝∠F ∴AD＝DF， ∵点E是BC的中点
∴CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF ∴△CEF≌△BEA（AAS） ∴AB＝CF
4
∴AD＝CD+CF＝CD+AB （2）AB＝AF+CF
理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G
∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC ∴△AEB≌△GEC（AAS） ∴AB＝GC
∵AE是∠BAF的平分线 ∴∠BAG＝∠FAG， ∵∠BAG∠G， ∴∠FAG＝∠G， ∴FA＝FG， ∵CG＝CF+FG， ∴AB＝AF+CF
3. （2019?广西北部湾经济区）如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，
B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC=DG；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求
的值．
【答案】（1）证明：∵BF⊥CE， ∴∠CGB=90°，
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2020中考数学全等三角形专题复习(含解析)
