2. 3 双曲线
课时分配:
1. 第一课 双曲线及其标准方程 1个课时 2. 第二课 或 双曲线的简单几何性质 1个课时
2. 3.1 双曲线及其标准方程
【学情分析】
再此学习之前学生已经学习了椭圆，对学习曲线方程已经有了一定基础和方法，运用类比的学习方法得到双曲线的定义及标准方程不太困难。本节课教学对象是普通班学生，根据班级的整体水平以及对新课标的解读，双曲线标准方程的推导过程不在课堂完成，而是设计为课前以小组为单位在导学案中完成。 【教学目标】
1、类比椭圆，用规范的术语说出双曲线定义，并推导出标准方程；
2、记忆方程形式，识别焦点所在的轴，区分椭圆与双曲线； 3、利用所给条件写出双曲线的标准方程。
4、在交流探索活动中，体验类比及数形结合思想方法的运用，养成用联系的观点认识问题的习惯。
【教学重难点】
双曲线的定义及其标准方程，对双曲线定义中“绝对值”的理解
：多媒体，预习例题 【学前准备】
教学课程 第一课 教学环节 导案/学案 师生互动//随堂测试 学生提问备注 问题1：椭圆的第一定义是什么？ 一、复习引入问题2：椭圆的标（5分钟） 准方程是怎样的？ 1．双曲线的概念 如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程双是怎样的呢？ （2）设问 （1）演示 如图，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，点M移动时，MF1?MF2是 （3）定义 在此基础上，引导学生概括出双曲线的定义： 平面内与两常数，这样就画出双①定点F1、F2与曲线的一支，由动点M不在同一平面内，能否得到双曲线？ 请学生回答，不能．指出必须“在平面内”． ②M到F1与F2两MF2?MF1是同一个常数，可以画出双曲个定点F1、F2的线的另一支． 这样作出的曲线距离的差的绝对就叫做双曲线． 值等于常数（小 二..探究新知 （25分钟） 这个方程叫做双点的距离的差有什么曲线的标准方程．它轨迹叫做双曲关系？ 请学生回答，M所表示的双曲线的焦线，这两个定点点在x轴上，焦点是叫做双曲线的焦到F1与F2的距离的差点，两焦点的距F1??c，0?、F2?c，0?，离叫做双曲线的的绝对值相等，否则只焦距． 表示双曲线的一支，即这里c2?a2?b2． 教师应当指MF1?MF2是一个常如果双曲线的焦出： （1）双曲线数． 点在y轴上，即焦点的标准方程与其③这个常是否会定义可联系起来????，，F0，?cF0，c大于或等F1F2？ 12记忆，定义中有“差”，则方程请学生回答，应小可以得到方程 “－”号连接， 于F1F2且大于零．当（2）双曲线22yx??1?a?0，b?0?方程中a?0，22b常数?F1F2时，轨迹是ab?0，但a不一定大于b； 以F1、F2为端点的两这个方程也是双（3）如果x2条射线；当常数?F1F2曲线的标准方程． 的系数是正的，于F1F2）的点的时，无轨迹． 2．双曲线的标准方程 现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导． （1）建系设点 那么焦点在x轴上，如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置； （4）双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2?a2?b2，不同于椭圆方程中c2?a2?b2． 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F的垂直平分线为y轴建立在直角坐标系（如图）． 设M?x，y?为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c?c?0?，0?、F2?c，0?，则F1??c，又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a?2a?2c?． （2）点的焦合 由定义可知，双曲线上点的集合是P??MMF1?MF2?2a? （3）代数方程 ?x?c?2?y2??x?c?2?y2 （4）化简方程 由一位学生演板，教师巡视， 将上述方程化为?2a?x?c?2?y2??x?c?2?y2 整移项两边平方后理得：??2acx?a2??a?x?c?2?y2 理两边再平方后整得：?a2x2?a2y2?a2c2?a2?c 2???由双曲线定义知2c?2a即c?a，∴c2?a2?0， 设c2?a2?b2?b?0?代入上式整理得：x2y2?2?1?a?0，b?0?2ab 例1 说明：椭圆x2y2??1与双曲线259x2?15y2?15的焦点相同． 由一位学生板演完成，答案都是??4，0?． 例2 已知两点F1??5，0?、F2?5，0?，求与它们的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程．如果把上面的6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？ 由教师讲解 解：按定义，所求点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线． 这里a?3，c?5，∴b2?c2?a2?25?9?16故所求双曲线的方程为 x2y2??1 916若2a?12，则2c?10且2a?2c，所以动点无轨迹． 随堂练习 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）a?4，b?3； （2）焦点（0，－6），（0，6），经过点（2，－5）． 2．已知方程mx2?ny2?m?n?m?0?m?n?，求它的焦点坐标． 三.巩固练习 （20分钟） x2y2??1表示双曲线，求m的取值范围．3．已知方程 2?mm?1x2y2y2x2y2x2?1或??1；答案：1．（1）?（2）??1；169169201622?m?n?2．?0，?mn???；3．m??2或m??1 ??
高中数学选修2-1 第二章第三节《2.3双曲线》全套教案
