初三数学 二次函数 知识点总结
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小.
当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右.
事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点. 二次函数图像与y轴交于（0，c) 一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符开口方顶点坐对称性质 向 标 轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0
号 a?0 向上 ?0，0? y轴 时，y随x的增大而减小；x?0时，
y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0
a?0 向下 ?0，0? y轴 时，y随x的增大而增大；x?0时，
y有最大值0．
2. y?ax2?c的性质：上加下减。
a的符开口方顶点坐对称性质 向 标 轴 x?0时，y随x的增大而增大；
号 a?0 向上 ?0，c? y轴 x?0时，y随x的增大而减小； x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x的增大而减小； a?0 向下 ?0，c? y轴 x?0时，y随x的增大而增大时，y有最大值c．
3. y?a?x?h?2的性质：左加右减。
4. y?a?x?h?2?k的性质：
a?0 a?0 a的符a的符开口方顶点坐对称性质 向 标 轴 x?h时，y随x的增大而增大； 号 a?0 向上 ?h，0? X=h x?h时，y随x的增大而减小； x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小； a?0 向下 ?h，0? X=h x?h时，y随x的增大而增大； x?h时，y有最大值0． 开口方顶点坐对称性质 向 标 轴 x?h时，y随x的增大而增大； 号 向上 ?h，k? X=h x?h时，y随x的增大而减小； x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小； 向下 ?h，k? X=h x?h时，y随x的增大而增大； x?h时，y有最大值k． 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h?2?k，确定其顶点坐标?h，k?； ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：
y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成
y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）
⑵y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成
y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c）
四、二次函数y?a?x?h?2?k与y?ax2?bx?c的比较
从解析式上看，y?a?x?h?2?k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配
b?4ac?b2?方可以得到前者，即y?a?x???2a?4a?2b4ac?b2，其中h??，k?2a4a．
五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，c?、以及?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
六、二次函数y?ax2?bx?c的性质
?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?． 2a4a2a??当x??b时，y随x的增大而减小；当x??b时，y随x的增大而增大； 2a2a4ac?b2b当x??时，y有最小值
4a2a．
?b4ac?b2?b 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??，?． 2a4a2a?? 当x??b时，y随x的增大而增大；当x??b时，y随x的增大而减小； 2a2a4ac?b2b 当x??时，y有最大值
4a2a．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数
都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a 二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
⑴当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．
人教版初三数学二次函数知识点及难点总结
