考点4 数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等）
*1．（2015江苏苏州市高三上调考）已知数列{an }共有2k项（2≤k且k∈N），数列{an }的前n项的和为Sn，
满足a1=2，an?1 =（p－1）Sn+2（n=1，2，3，…，2n－1），其中常数p＞1 （1）求证：数列{an }是等比数列； （2）若p=222k?1，数列{bn }满足bn?1（n=1，2，…，2n），求数列{bn }的通项公式 log2（a1a2?an）
n32（3）对于（2）中的数列{ bn}，记cn?|bn－|，求数列{cn }的前2k项的和． 【考点】数列的求和；数列的应用．
【解】（1）证明：当n=1时，a2 =2p，则
a2?p， a1（p－1）Sn?2，an?（p－1）Sn-1?2， 当2≤n时，an?1?（p－1）an，即an?1?pan， ∴an?1－an?∴
an?1?p， an故数列{an }是等比数列．
n?1（2）由（1），得an?2p（n=1，2，…，2n），
∴a1a2?an?2pn1?2?3???n?1?2pn(n?1)n2
?22=
n2(n?1)n?2k?12?2n?(n?1)n2k?1，
1(n?1)n(n?) n2k?1(n?1)=（n=1，2，…，2n）， ?1，2k?1(n?1)即数列{bn}的通项公式为bn?（n=1，2，…，2n）． ?1，
2k?1331（3）cn?|bn?|，设bn?，解得n≤k?，
22233又n为正整数，于是：当n≤k时，bn＜；当n≥k+1时，bn＞，
22∴数列{cn }的前2k项的和：
k2?． 2k?122．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））设数列{an }的前n项和记为Sn，且Sn?n?3n?4．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn?an25bT，记数列{ }的前n项和记为，，求证：. ≤T＜nnnn336【考点】错位相减法求和
【解】（1）当n=1时，a1?2，当n≥2时，an?Sn?Sn?1?2n?4，故an???2,n?1，
?2n?4,n≥24?2,n?1an?220n2??3（2）bn?n??，其中T1?，当n≥2时，Tn??2?...?n2n?433333?,n?2??3n①，
1202n?422222n?4Tn?2?3?...?n?1②，∴①－②得，Tn??2?3?...?n?1， 33333333352n?125b≥0∴Tn??，由于，∴． ≤T＜(n≥2)nnn62?3362?n3．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））已知数列?an?中，a1?1，二次函数f(x)?an?x?(2?an?1)?x的
12对称轴为x=
1， 2（1）试证明2nan是等差数列，并求?an?的通项公式；
（2）设?an?的前n项和为Sn，试求使得Sn＜3成立的n的值，并说明理由． 【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和． 【解】（1） ∵二次函数f(x)???11an?x2?(2?n?an?1)?x的对称轴为x=， 222?n?an?1111??∴an≠0，a?a?，整理得， 12n?1n2?an22n2左右两边同时乘以2n?1，得2n?1an?1?2nan?2，即2n?1an?1?2nan?2 (常数)，
∴2an是以2为首项，2为公差的等差数列，
n∴2an?2?2(n?1)?2n，
?n?2nn?． nn?122123n?1n（2）∵ Sn?0?1?2?...?n?2?n?1， ①
222221123n?1n...?n?1?n， ② Sn? 1?2?3222222∴an?111111n2n?n， ①-②得：Sn?1?1?2?3...?n?1?n?12n2222221?2n?2整理得 Sn?4?n?1．
2n?3n?2n?1∵ Sn?1?Sn?4?n?(4?n?1)?n＞0，
2221?∴ 数列{Sn }是单调递增数列． ∴ 要使Sn＜3成立，即使4?∴ n=1，2，3．
n?2＜3，整理得n+2>2n?1， n?12an?k2)对n24．（2015江苏省南京市高三考前综合）公差不为零的等差数列{an }的前n项之和为Sn，且Sn＝(∈N成立．
（1）求常数k的值以及数列{an}的通项公式；
*
?akn，?，恰成等比数列，其中k1＝2，,k3＝14，求（2）设数列{an}中的部分项ak1，ak2，ak3，a1k1＋a2k2＋?＋ankn的值．
【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法． 【解】（1）法一：条件化为2Sn＝an＋k对n∈N*成立． 设等差数列公差为d，则2na1?n(n?1)d＝a1＋(n－1)d＋k． 2?2a1?a1?k①??分别令n＝1，2，3得：?22a1?d?a1?d?k②
???23a1?3d?a1?2d?k③由①＋③－2?②得，a1?3a1?3d?22a1?d．两边平方得，4a1＋d＝23a1?3a1d．
22两边再平方得，4a1－4a1d＋d＝0．解得d＝2a1．
2代入②得，4a1＝3a1＋k，④
由④－①得，a1＝a1．所以a1＝0，或a1＝1． 又当a1＝0时，d＝0不合题意．所以a1＝1，d＝2． 代入①得k＝1．
Sn＝(而当k＝1，a1＝1，d＝2时，Sn＝n，an＝2n－1，等式 2an?k2)对n∈N*成立． 21． 所以k＝1，an＝2n－法二：设等差数列的首项为a1，公差为d，
n(n?1)dd． d＝n2＋(a1－)n，an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)．222a?k2dd1代入 Sn＝(n)得，n2＋(a1－)n＝[dn＋(a1＋k－d)]2，
2224则Sn＝na1＋2222即2dn＋(4a1－2d)n＝dn＋2d(a1＋k－d)n＋(a1＋k－d)．
?2d?d2?因为上面等式对一切正整数n都成立，所以由多项式恒等可得，?4a1?2d?2d(a1?k?d)
?a1?k?d?0??d?2?1． 因为d≠0，所以解得，?a1?1所以常数k＝1，通项公式an＝2n－?k?1?（2）设cn＝akn，则数列{cn}为等比数列，且c1＝ak1＝a2＝3，c3＝ak3＝a14＝27． 故等比数列{cn}的公比q满足q＝又cn＞0，所以q＝3．所以cn＝c1q2c3＝9． c1n－1＝3?3n－1＝3n．
又cn＝akn＝2kn－1，所以2kn－1＝3．
n2n?1n2n?1． ?3＋22111323535所以a1k1＋a2k2＋?＋ankn?(?3?)?(?3?)?(?3?)
222222111?[1?3?5??(2n?1)]?[1?31?3?32?5?33??(2n?1)?3n]?n2． 222由此可得kn＝?3＋．所以ankn＝n1212法一：令S?1?3?3?3?5?3?则3S?1?3+3?3+23123?(2n?1)?3n，
+(2n?3)?3n+(2n?1)?3n?1，
23两式相减得:?2S=3+2?3+2?3++2?3n?(2n?1)?3n?1，
+ankn
1n?1n?1?????2(n?1)?3?6?(n?1)?3?3,代入得a1k1+a2k2+?2?112(n?1)?3n?1?n2?3n?1???(n?1)?3?3?． ???2n?22法二：因为(2k?1)?3?[(k?1)?2]?3kk?1?(k?2)?3k?(k?1)?3k?1?
(k?2)?3k．所以S?[0?32?(?1)?31]?[1?33?0?32]?[2?34?1?33]
??[(n?1)?3n?1?(n?2)?3n]＝(n－1)?3n＋1＋3．代入得a1k1+a2k2+?+ankn
112(n?1)?3n?1?n2?3n?1???(n?1)?3?3?. ???2n?225．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知?an?是等差数列，其前n项的和为Sn，?bn?是等
比数列，且a1?b1?2，a4?b4?21，S4?b4?30. (1)求数列?an?和?bn?的通项公式；
*(2)记cn?anbn,n?N，求数列?cn?的前n项和.
【考点】数列的求和，数列递推式.
【解】(1)设等差数列?an?的公差为d，等比数列?bn?的公比为q.
3由a1?b1?2，得a4=2+3d，b4?2q，S4?8?6d
?2?3d?2q3?21?d?1由条件a4?b4?21，S4?b4?30，得方程组?解得? 3q?28?6d?2q?30??n*所以an?n?1，bn?2，n?N. n(2)由题意知，cn?(n?1)?2.
记Tn?c1?c2?c3?则Tn?c1?c2?c3??cn.
?cn=2?2?3?22?4?23??n?2n?1?（n?1）?2n，
2Tn?2?22?3?23?4?24?23所以?Tn=2?2?(2?2??n?2n?（n?1）?2n?1，
?2n?1?2n)?(n?1)2n?1，
Tn?n?2n?1(n?N*).
6. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知{an}为等比数列，其中a1=1，且
a2，a3?a5，a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式：
（2n﹣）1?an，求数列{bn}的前n项和Tn． （2）设bn?【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【解】（1）设在等比数列{an}中，公比为q， ∵a1?1，且a2，a3?a5，a4成等差数列，
数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等)
