常微分方程
2.1
1
?詈2xy，并求满足初始条件：的特解. 解：对原式进行变量分离得
x
In y X c,即 y c e 把 x
2
2
1
—dy 2xdx ,两边同时积分得： y
2
o, y
1代入得
c 1,故它的特解为
xy e。
2. y dx (x 1)dy 0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
解：对原式进行变量分离得:
0时，两边同时积分In x 1 得;
当y 0时显然也是原方程的解。当x 0,y 1时，代入式子得c 1,故特解是
1 1 ln|l x
$dy,当 y
1 c In x 1
2
3 dy丄占 dx xy x y
解：原式可化为：
2 2
dy
—— dx
y x x y
y
?—1_3显然 ------ 0,故分离变量得 一 dy
1 y
3
dx
c
两边积分得丄| n1
2 故原方程的解为(
1 —y 〉 In< In 2
2
2
2 1
x
2
In c(c 0),即(1
y)(1 x)
2 2
x
2
y )(1 x) cx
4：(1 x)ydx (1 y)xdy 0
解：由y 0或x 0是方程的解，当xy 0时，变量分离1一 dx -一 dy 0
x y
两边积分 In x x In y y c,即 In xy x y c,
故原方程的解为 Inxy x y c; y 0;x
0.
-1 -
5：（y
x)dy (y x)dx 0
y
二
令 Z u,y x x
解型
y du
x - X,变量分离， dx
1
arctgu ln(1
2
ux,巴 dx 得:
du x - dx 1 du 1
1 dx x
两边积分得:
ln|x c。
_ dy
6： x y dx
u,y ux,矽 解: 令y x dx
2 2
X包，则原方程化
为:
1
sgn x?-dx
x
du dx
x (1 u ) du
,分离变量得：—
1u V
2
两边积分得：arcsinu sgnx ? ln|x| 代回原来变量，得 arcsi n》sg nx?l n/
x
另外，y2 x2也是方程的解。
7: tgydx ctgxdy 0
解：变量分离，得： ctgydy tgxdx 两边积分得：In |sin y| In |cosx| c.
2
y 3x
8型匚 dx
y
解：变量分离，得 土 dy -e3x c
ey 3
9: x(lnx In y)dy ydx 0 解：方程可变为 令u #,则有:
x
yIn ?dy x —dx 0 x In u Idx
d I n u x 1 In u
代回原变量得： cy 1 dy x y
10： e
dx d
解：变量分离
y
两边积分 e
沁。
x
e dy e dx e c
x
x
-2 -
dy x y dx e
解：变量分离，e dy 两边ex
dx
积分得：ey ex 1喘(x y)2 c
解：令x y t,则虫1
dx dx
原方程可变为：色2 1
dx t 1
变量分离得： ——dt dx,两边积分arctgt x c
t 1
代回变量得：arctg (x y) x c
12
dx xW
解
t,则dy 色1,原方程可变为 空 dx dx dx
x c,代回变量dy 2x
13.-
y 1 dx x
2y
1
解：方程组 2x y 1 0,x 2y 1 1 0;的解为x -, y 令x X 1
Y 丄，则
3
3
,y
有 dY 2X Y' 3
dX
X 2Y
2
变量分离身 dt dx,两边积分t arctgt t 1 x y arctg (x y) x c
令Y u,则方程可化为：x也 2 2U 2X u dX 1 2U 变量分离
-3 -
1 3
《常微分方程》(第三版)答案
