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数理统计-方差与标准差

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心理和教育方面的实验或调查所得到的数据,大都具有随机变量的性质。而对这些随机变量的描述,仅有前一章所讲集中趋势的度量是不够的。集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况,它还不能说明一组数据的全貌。数据除典型情况之外,还有变异性的特点。对于数据变异性即离中趋势进行度量的一组统计量,称作差异量数,这些差异量数有标准差或方差,全距,平均差,四分差及各种百分差等等。

第一节 方差与标准差

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方差(Variance)也称变异数、均方。作为统计量,常用符号S表示,作为总体参数,常用符号σ表示。它是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值,即离均差平方后的平均数。方差,在数理统计中又常称之为二阶中心矩或二级动差。它是度量数据分散程度的一个很重要的统计特征数。标准差(Standard deviation)即方差的平方根,常用S或SD表示。若用σ表示,则是指总体的标准差,本章只讨论对一组数据的描述,尚未涉及总体问题,故本章方差的符号用S,标准差的符号用S。符号不同,其含义不完全一样,这一点望读者能够给予充分的注

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意。

一、方差与标准差的计算 (一)未分组的数据求方差与标准差

基本公式是:

(3—l a)

(3—1b)

表3—1说明公式3—1a与3—1b的计算步骤 表3—1 未分组的数据求方差与标准差

x=(Xi—X) 222Xi 6 5 7 4 6 8 N=6 Xi—X=x 0 -1 l -2 0 2 ∑x=0 Xi 36 25 49 16 36 64 ∑Xi=226 20 l 1 4 0 4 ∑x=10 2∑Xi=36 应用3—1公式的具体步骤:①先求平均数X=36/6=6;②计算Xi -X;③求(Xi - X)即离均差x;④将各离

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均差的平方求和 (∑x);⑤代入公式3—1a与3—1b求方差与标准差。具体结果如下:

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S=10/6=1.67

(二)已分组的数据求标准差与方差

数据分组后,便以次数分布表的形式出现,这时原始数据不见了,若计算方差与标准差可用下式:

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(3—3a)

(3—3b)

式中d=(Xc - AM) / i,AM为估计平均数

Xc为各分组区间的组中值 f为各组区间的次数 N=Σf 为总次数或各组次数和

i为组距。

下面以表1—8数据为例,说明分组数据求方差与标准差的步骤:

表3—2 次数分布表求方差与标准差

分组 Xc 区间 96- 93- 90- 87- 84- 81- 78- 97 94 91 88 85 82 79 2 3 4 8 11 17 19 6 5 4 3 2 1 0 12 15 16 24 22 17 0 72 75 64 S=7.113 72 44 17 0 S=3* (570/100 -(28/100))222f d fd fd 2计 算 =50.5944 75- 72- 69- 66- 63- 60- i=3 76 73 70 67 64 61 14 10 7 3 l 1 Σf=100 —1 —2 —3 —4 —5 —6 —14 —20 —21 —12 —5 —6 Σfd=28 14 40 63 48 25 36 Σfd=570 2 具体步骤:

①设估计平均数AM,任选一区间的Xc充任;

②求d

⑧用f乘d,并计算Σfd; ④用d与fd相乘得fd,并求Σfd;

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⑤代入公式计算。 二、方差与标准差的意义

方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好的指标。其值越大,说明离散程度大,其值小说明数据比较集中,它是统计描述与统计分析中最常应用的差异量数。它基本具备一个良好的差异量数应具备的条件:①反应灵敏,每个数据取值的变化,方差或标准差都随之变化;②有一定的计算公式严密确定;③容易计算;④适合代数运算;⑤受抽样变动的影响小,即不同样本的标准差或方差比较稳定;⑥简单明了,这一点与其他差异量数比较

稍有不足,但其意义还是较明白的。

除上述之外,方差还具有可加性特点,它是对一组数据中造成各种变异的总和的测量,能利用其可加性分解并确定出属于不同来源的变异性(如组间、组内等)并可进一步说明每种变异对总结果的影响,是以后统计推论部分常用的统计特征数。在描述统计部分,只需要标准差就足以表明一组数据的离中趋势了。标准差比其他各种差异量数具有数学上的优越性,特别是当已知一组数据的平均数与标准差后,便可知占一定百分比的数据落在平均数上下各两个标准差,或三个标准差之内。对于任何一个数据集合,至少有1一1/h

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数据落在平均数的h(大于1

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的实数)个标准差之内。(切比雪夫定理)。例如某组数据的平均数为50,标准差是5,则至少有75%(1一1/2)的数据落在50-2*5至50+2*5即40至60之间,至少有88.9%(1一1/3)的数据落在50-3*5至50+3*5=35—65之

间 (h=2,1-1/h=1-1/2=3/4=75%,h=3, -1/h=1-1/3=8/9=88.9%)。

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如果数据是呈正态分布,则数据将以更大的百分数落在平均数上下两个标准差之内(95%)或三个标准差之内

(99.%)。

三、由各小组的标准差求总标准差

由于方差具有可加性特点,在已知几个小组的方差或标准差的情况下,可以计算出几个小组联合在一起的总的方差或标准差。这种计算常在科研协作中应用,例如先了解各班学生情况,再了解全年级情况;或先了解各年级情况,再了解全校总的情况。但这种方差或标准差的合成,只有在应用同一种观测手段,测量的是同一个特质,

只是样本不同时,才能应用。 计算总方差或总标准差的公式如下;

(3—4a)

(3—4b)

式中

为总方差

为总标准差

N1…Nn为各小组数据个数

为总平均数

为各小组的平均数

四、标准差的应用

(一)差异系数(Coefficient of variation)

当所观测的样本水平比较接近,而且是对同一个特质使用同一种测量工具进行测量时,要比较不同样本之间离散程度的大小,一般可直接比较标准差或方差的大小-标准差的值大说明该组数据较分散,若标准差小,则说明该组数据较集中。标准差的单位与原数据的单位相同,因而有时称它为绝对差异量。在对不同样本的观测结果的离散程度进行比较时,常会遇到下述情况:①两个或多个样本所测的特质不同,即所使用的观测工具不同,如何比较其离散程度?②即使使用的是同+种观测工具,但样本的水平相差较大时,如何比较它们的离散程度?在第一种情况下,标准差的单位不同,显然不能直接比较标准差的大小。第二种情况虽然标准差的单位相同,但两样本的水平不同,这可从平均数的大小明显不同确定。通常情况下,平均数的值较大,其标准差的值一般也较大,平均数的值较小,其标准差的值也较小。这种情况下,若直接比较标准差取值的大小,借以比较不同样本的分散情况是无意义的。可见,上述两种情况下,若用绝对差异量进行直接比较以确定其分散程度的大小是不行的,这时可用相对差异量进行比较。最常用的相对差异量就是差异系数。差异系数,.又称变异系数、相对标准差等,通常

用符号CV表示,其计算如下,

CV=S / M * 100% (3—5)

式中S为某样本的标准差 M为该样本的平均数。

差异系数在心理与教育研究中常用于:①同一团体不同观测值离散程度的比较,②对于水平相差较大,但进

行的是同一种观测的各种团体,进行观测值离散程度的比较。

例2 已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤,体重的标准差是3.7公斤,平均身高110厘米,标准

差为6.2厘米,问体重与身高的离散程度哪个大?

解: CV体重=3.7 / 25 * 100%=14.8% CV身高=6.2 / 110 * 100%=5.64%

通过比较差异系数可知,体重的分散程度比身高的分散程度大(14.8%>5.64%)。

例3 通过同一个测验,一年级(7岁)学生的平均分数为60分,标准差为4.02分,五年级(14岁)学生的平

均分数为 80分,标准差为6.04分,问这两个年级的测验分数中哪一个分散程度大?

解: CV一年级=4.02 / 60 * 100%= 6.7% CV五年级=6.04 /80 * 100%= 7.55%

答;五年级的测验分数分散程度大。

在应用差异系数比较相对差异大小时,一般应注意测量的数据要保证具有等距的尺度,这时计算的平均数和标准差才有意义,应用差异系数进行比较也才有意义。另外,观测工具应具备绝对零,这时应用差异系数去比较分散程度效果才更好。因此,差异系数常用于重量、长度、时间,编制得好的测验量表范围内。第三,差异系数只能用于一般的相对差异量的描述上,至今尚无有效的假设检验方法,因此对差异系数不能进行统计推论。

(二)标准分数(standard score)

标准分数又称基分数或z分数,是以标准差为单位表示一个分数在团体中所处位置的相对位置量数。

1.计算公式;

Z = (X—

)/ S (3—6)

式中X代表原始数据,X为一组数据的平均数,S为标准差。从公式3—6可以明了,Z分数的意义,它是一个数与平均数之差除以标准差所得的商数,它无实际单位。如果了个数小于平均数,其值为负数,如果一个数的值大于平均数,其值为正数,如果一个数的值等于平均数,其值为零。可见Z分数可以表明原数目在该组数据分布

中的位置,故称为相对位置量数。

例4 某班平均成绩为90分,标准差为3分,甲生得94.2分,乙生得89.1分,求甲乙'学生的Z分数各

是多少? 解:根据公式3—6 Z甲=(94.2—90) / 3 = 1.4 Z乙=(89.1—90) / 3 = -0.3

Z分数表示其原分数在以平均数为中心时的相对位置,这比使用平均数和原分数表达了更多的信息。

2.Z分数的性质

①在一组数据中所有由原分数转换得出的z分数之和为零,其Z分数的平均数亦为零。

②一组数据中各z分数的标准差为1。

数理统计-方差与标准差

心理和教育方面的实验或调查所得到的数据,大都具有随机变量的性质。而对这些随机变量的描述,仅有前一章所讲集中趋势的度量是不够的。集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况,它还不能说明一组数据的全貌。数据除典型情况之外,还有变异性的特点。对于数据变异性即离中趋势进行度量的一组统计量,称作差异量数,这些差异量数有标准差或方差,全距,平均差,四分差及各种百分差等等。第一节方差与
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