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理科数学复习专题立体几何 线面垂直与面面垂直专题复习
【知识点】
一．线面垂直
(1)直线与平面垂直的定义：
如果直线l和平面α内的__________一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直，记作__________．
重要性质：__________________________________________________________ (2)直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面内的两条__________都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．用符号表示为： ②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号可表示为： (3)直线与平面垂直的性质： ①由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的_______直线． ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．用符号可表示为： 二、面面垂直 (1)平面与平面垂直的定义： 两平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条__________，那么这两个平面互相垂直．简述为“线面垂直，则面面垂直”，用符号可表示为： (3)平面与平面垂直的性质： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号可表示为： 【题型总结】 题型一小题：判断正误 1．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的( )．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件 2．已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则下列结论不正确的是( )．
A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD
2.设m，n,l是三条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，判断命题正误： 题型二证明线面垂直
1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD． （1）证明：BD⊥面PAD(2)证明：PA⊥BD；
归纳：①证明异面直线垂直的常用方法：_____________________________________
②找垂线(线线垂直)的方法一：
形，
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_________________________________
2.四棱锥P?ABCD中，底面ABCD的边长为4的菱形，PD?PB?4,?BAD?600，E为PA中点.
求证：BD?平面PAC；
归纳：找垂线(线线垂直)的方法二：_________________________________
找垂线(线线垂直)的方法三：_________________________________
3、如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A,B的一点，PA?平面ABC，E是PC的中点，AB?3，PA?AC?1．求证：AE?PB
归纳：找垂线(线线垂直)的方法四：_________________________________ 4.如图，在三棱锥P?ABC中，PA?底面ABC,?BCA?900， AP=AC,点D，E分别为棱PB、PC的中点，且BC//平面ADE 求证：DE⊥平面PAC； 归
纳：_________________________________________________________________ 题型三面面垂直的证明（关键：找线面垂直） 1、如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD. S?A平面A求证：平面SAC?平面SBD； 的交点
，
2.（2016理数）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶面ABEF为正方形,AF=2FD,?AFD?90， 证明：平面ABEF?平面EFDC； 题型四面面垂直的性质（注意：交线） 1、如图所示，平面EAD?平面ABCD，?ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点， 求证：EG?平面ABCD； 2、如图，平行四边形ABCD中， CD?1,?BCD?600,BD?CD，正方形ADEF，
且面ADEF?面ABCD．求证：BD?平面ECD；
点的五面体中,
综合运用
如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、(1)求证：MN∥平面PAD. (2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA＝45°，求证：面BMN⊥平面PCD. 【练习】
1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：
PC的中点.
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①
a?M?a?M?a//b?a//M?②③b∥M④?a//b??b?M?????b⊥M.其中正确的命题是() b?M?a?b?a?M?a?b?A.①②B.①②③C.②③④D.①②④
2.给出以下四个命题：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平
行。
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行。
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 其中正确的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 3．如图，在四棱锥P?ABCD中，PD?平面ABCD， PD?DC?BC?2，AB?2DC，AB∥DC，?BCD?90?. (1)求证：PC?BC；(2)求多面体A?PBC的体积. 4.如图所示，ABCD是正方形，PA?平面ABCD， E、F是AC、PC的中点 （1）求证：AC?DF； （2）若PA?2,AB?1，求三棱锥C?PED的体积． 5、在四棱锥P?ABCD中，已知PA?平面ABCD, ?AD∥BC,?BAD?90,PA?AB?BC?1,AD?2, E为PD的中点. CE//面PAB；（Ⅰ）求证：（Ⅱ）证：面PAC?面PDC； 6、已知四棱锥
A?BCDE，其中
CD，F为
AB?BC?AC?BE?1，CD?2，CD?面ABC，BE∥
AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：面
ADE?面ACD；
C A1 BA 7.如图，在直三棱柱
ABC?A1B1C1中，平面
A1BC?侧面
A B C A1ABB1，且
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AA1?AB?2求证：AB?BC；
立体几何 线面与面面垂直的证明
