模型04 等时圆模型（原卷版）
1.模型特征
(1)质点在竖直圆环上沿不同的光滑弦从其上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等,如图甲所示。 (2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等,如图乙所示。 (3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点,质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等,如图丙所示。
我们先看弦轨道模型问题并证明物体下滑的等时性。
如图所示，让物体从竖直圆环上的最高点A处由静止开始沿光滑的弦轨道AB 、AC、AD下滑（AD竖直），下滑的时间分别为t1、t2、t3。试证明t1?t2?t3
证明：物体由静止开始沿AB弦轨道下滑，AB弦轨道长为x1，AB弦轨道与竖直方向夹角为，直径AD长为d。
a1?gcos?① x1?dcos?②
1
x1?1a1t12③ 2①②③解得：t1?2d g可知物体由静止开始沿光滑弦轨道下滑的时间与弦与竖直方向的夹角无关，即
t1?t2?t3
如果把圆环及轨道倒置，如图所示，使A在最低点，让物体从B、C、D点由静止开始沿光滑弦轨道滑到A点，通过同样方法证明，物体下滑时间仍相等。
结论：物体由静止开始沿着一个端点在圆环最高点的不同光滑弦轨道下滑到圆环的时间相等；或物体在圆环上由静止开始沿着另一个端点在圆环最低点的不同光滑弦轨道下滑，滑到圆环最低点的时间相等。 【典例1】如图甲所示,在倾角为θ的斜面上方的A点放置一光滑的木板AB,B端刚好在斜面上,木板与竖直方向AC所成角度为α,一小物块由A端沿木板由静止下滑,要使物块滑到斜面的时间最短,则α与θ角的大小关系为( )。
A.α=θ B.α= C.α=2θ D.α=
【变式训练1】如果定点A在斜面下面，在斜面上如何找到一点P ，使其沿光滑弦到A 点时间最短？ 如图. 在竖直平面内，定点A位于斜面ML的下面，A与斜面之间连接光滑直轨道，作图求出物体由斜面上一点从静止开始沿光滑直轨道滑到A点最短时间的径迹。
【典例2】如图所示,几条足够长的光滑直轨道与水平面成不同角度,从P点以大小不同的初速度沿各轨道发射小球,若各小球恰好在相同的时间内到达各自的最高点,则各小球最高点的位置( )。
A.在同一水平线上 B.在同一竖直线上 C.在同一抛物线上 D.在同一圆周上
2
【变式训练2】如图所示，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为( )
A．1∶1∶1 C．5∶8∶9
B．5∶4∶3 D．1∶2∶3
【典例3】(2018·黑龙江大庆一模)如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆的圆周上，C是圆周上任意一点，A、M分别为此圆与x、y轴的切点；B点在y轴上且∠BMO＝60°，O′为圆心。现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC大小关系是( ) A．tA D．由于C点的位置不确定，无法比较时间大小关系 3 【变式训练3】如图甲所示,位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点,与竖直墙相切于A点。竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°,C是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动;c球由C点自由下落。则( )。 A.a球最先到达M点 B.b球最先到达M点 C.c球最先到达M点 D.b球和c球都可能最先到达M点 【典例4】如图所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离OP。 4 A h B H O P 【变式训练4】如图，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则 （ ） A、a处小孩最先到O点 B、b处小孩最后到O点 C、c处小孩最先到O点 D、a、c处小孩同时到O点 c b a O 【典例5】(单选)如图6所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为( )． A．2∶1 B．1∶1 C.3∶1 D．1∶3 θ 1 【变式训练5】如图8所示，圆弧AB是半径为R的圆弧，在AB上放置一光滑木板BD，一质量为m的小 4物体在BD板的D端由静止下滑，然后冲向水平面BC，在BC上滑行L后停下．不计小物体在B点的能量损失，已知小物体与水平面BC间的动摩擦因数为μ.求：小物体在BD上下滑过程中，重力做功的平均功率． 5
模型04 等时圆模型(原卷版)
