考虑微观结构噪声的积分波动估计量
摘要：金融资产的波动率度量对于资产风险管理、投资组合以及衍生产品定价都十分重要，本文从极差的角度入手，考虑微观结构噪声的影响，运用蒙特卡罗模拟的方法得出经过微观结构噪声纠偏的已实现极差三幂次变差的有效性。 关键词：高频数据；已实现极差三幂次变差；微观结构噪声 一、引言
然而，在跳跃扩散假设条件下，RRV不再是二次变差的一致估计量。因此很多学者研究了在跳跃扩散假设条件下RRV的性质，并提出了基于极差的跳跃稳健型估计量。主要的理论成果是Christensen、Podolskij等提出的已实现极差双幂次变差和多幂次变差理论。已实现极差多幂次变差虽然对有限活动的跳跃是稳健的，却没有考虑到微观结构噪声的影响。因此本文拟对跳跃稳健型的波动估计量加以改进，消除微观结构噪声的影响，进一步提高波动估计的准确性。 二、理论基础 （一）已实现极差波动
假设资产对数价格p（t）是半鞅过程，一般的跳跃-扩散过程可以写成如下的形式： pt=p0+∫t0μudu+∫t0σudWu+∑Nti=1Ji（3-1）
其中，μ=（μt）t≥0是局部有界的漂移函数，σ=（σt）t≥0是严格正的左极限右连续的随机波动过程，W=（Wt）t≥0是标准的布朗运动，N=（Nt）t≥0是有限活动的计数过程，J={Ji}i=1，…，Nt是一系列非零的随机变量。
当价格过程不含跳跃时，跳跃扩散过程就退化成如下的扩散过程： pt=p0+∫t0μudu+∫t0σudWu（3-2）
在没有考虑跳跃的情况下，Christensen、Podolskij（2007）提出了以价格极差为基础的已实现极差波动。记等抽样间隔的价格改变量为： SpiΔ，Δ，m=max0≤s，t≤m{pi-1n+tN-pi-1n+sN} 其中，λr，m=E（SrW，m）为标准布朗运动极差的r阶矩，
SW，m=maxs，t=0，1，…，m（Wt/m-Ws/m）表示标准布朗运动极差， RRVn，mb表示在有跳跃的情况下是有偏差的。
（二）已实现极差多幂次变差
Christensen、Podolskij（2012）提出了已实现极差多幂次变差，定义如下： 其中，q+=∑kj=1qj，λqj，m=E（SqjW，m）
Christensen、Podolskij（2012）证明了在价格过程服从布朗半鞅的假设下，当抽样频率趋于无穷大时：
RMVn，m（q1，…，qk）p∫10σuq+du 同时满足如下的中心极限定理：
关于跳跃稳健的积分波动估计量的选择，随着幂次的增加，估计量对跳跃更加稳健，然而在没有跳跃时则会损失一定的效率为代价，因此从实际的观点来看，本文选取已实现极差三幂次变差（RTV）作为跳跃稳健的积分波动估计量。 三、微观结构噪声
在高频数据环境下，微观结构噪声是所有引发实际价格偏离均衡价格的各种市场微观结构因素的总称，包括买卖价差、不连续交易、交易者信息不对称导致的价格偏离等等。由于微观结构噪声的存在会使得估计出的波动率产生偏差，因此在采用高频数据对波动率进行估计时，首先应该剔除微观结构噪声的影响。纠偏除噪方法成为微观结构噪声影响下的金融波动率研究的主流。
（一）微观结构噪声的基本假设
一般的观测价格过程Yt包含了有效价格过程Xt和微观结构噪声εt，即 Yt=Xt+εt
在有微观结构噪声的情况下，不仅二次变差的估计会受到微观结构噪声的影响，积分波动的估计同样会受到微观结构噪声的影响，因此未进行微观结构噪声处理的波动率估计量是有偏差的。
大多数文献都按微观结构噪声是独立同分布的进行处理，即微观结构噪声是一个白噪声过程，并满足以下假设：
E（εt）=0，Var（εt）=η2，εt⊥εs，s≠t 且ε与有效价格过程Xt相互独立。
本文的研究同样基于微观结构噪声独立同分布且独立于有效价格过程的价格展开。 （二）微观结构噪声方差估计量
金融市场的微观结构导致观测到的资产价格并不是有效价格，它们之间的差称为微观结构噪声。通常我们需要构造微观结构噪声方差估计量来度量微观结构噪声的大小，并进而分析微观结构噪声的相关性质。Bandi和Russell（2006）在微观结构噪声收益服从MA（1）结构的假设下，利用观测到的高频收益数据样本矩来一致估计不可观测的噪声收益，进而得到微观结构噪声的一致估计量。
Bandi和Russell（2006）根据噪声收益的MA（1）结构，采用高频收益数据的样本矩来推导出不可观测的微观结构噪声方差的一致估计量。假设h表示一个交易日，考虑n个交易日并将在时刻ih的观测对数价格表示如下：
其中，pih是对数有效价格，εih表示对数微观结构噪声。
然后将每个交易日划分成M个等间隔的子区间，定义观测到的高频收益率如下： 其中δ=h/M，j，i表示第i天第j个区间内的观测收益率，即 j，i=rj，i+ηj，i
利用高频观测收益数据可以用来一致估计微观结构噪声ε和微观结构噪声收益率η的方差。Bandi和Russell指出微观结构噪声收益率的方差，也就是E（η2）为： 四、考虑微观结构噪声的已实现极差三幂次变差
本文选取已实现极差三幂次变差作为跳跃稳健的积分波动估计量，然而该估计量同样会受到微观结构噪声的影响。现有的研究中，大多数文献在研究跳跃和噪声时基本上只考虑其中一方面，同时考虑跳跃和噪声的研究相对较少。本章拟在已实现极差三幂次变差这一跳跃稳健的积分波动估计量基础上对其加以改进，剔除微观结构噪声的影响，以期能够更好地对波动率进行估计。
Christensen等（2009）提出了对已实现极差进行微观结构噪声纠偏的方法，首先估计出微观结构噪声的方差估计量，其次利用收益率极差减去微观结构噪声的部分，进而达到剔除微观结构噪声的目.的。基于这样的思路，本文对现有的跳跃稳健积分波动估计量――已实现极差三幂次变差进行噪声纠偏，从而构造出对噪声和跳跃稳健的积分波动估计量，并通过蒙特卡罗模拟方法来分析该估计量的有效性。
根据已实现极差多幂次变差的定义，已实现极差三幂次变差表示成如下形式： Christensen（2009）等的研究表明Bandi和Russell（2006）提出的噪声方差估计量表现较优，因此本文也选用该估计量，表示如下： 2N=RVN2NPω2
根据Christensen等（2009）对已实现极差噪声纠偏的方法，本文在此基础上对已实现极差三幂次变差进行噪声纠偏，因此本文构建的对跳跃和噪声稳健的积分波动估计量为：
[微观,噪声,积分]考虑微观结构噪声的积分波动估计量
