2017考研数学一答案及解析
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
?1?cosx?（1）若函数f(x)??。 ,x?0在x?0连续，则（ ）ax?b,x?0?1 21B. ab??
2A. ab?C. ab?0 D. ab?2 【答案】A 【解析】
由连续的定义可得limf(x)?limf(x)?f(0)，而 -+x?0x?01(x)21?cosx112，，因此可得，故选b?limf(x)?lim?lim?limf(x)?b-+x?0x?0+x?0+x?02aaxax2a择A。
（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)?0，则（ ）。 A. f(1)?f(?1) B. f(1)?f(?1) C. |f(1)|?|f(?1) D. |f(1)|?|f(?1) 【答案】C
【解析】令F(x)?f(x)，则有F'(x)?2f(x)f'(x)，故F(x)单调递增，则F(1)?F(?1)，即[f(1)]?[f(?1)]，即|f(1)|?|f(?1)，故选择C。
222r（3）函数f(x,y,z)?xy?z在点(1,2,0)处沿向量n?(1,2,0)的方向导数为（ ）。
22
【答案】D
【解析】gradf?{2xy,x,2z}，因此代入(1,2,0)可得gradf|(1,2,0)?{4,1,0}，则有
2?fu122?grad??{4,1,0}{,,}?2。 ?u|u|333（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线v?v1(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（ ）。
A. t0?10 B. 15?t0?20 C. t0?25 D. t0?25 【答案】C
【解析】从0到t0时刻，甲乙的位移分别为可知，
?t00v1(t)dt与?v2(t)dt，由定积分的几何意义
0t0?250(v2(t)?v1(t)dt?20?10?10，因此可知t0?25。
（5）设?为n维单位列向量，E为n维单位矩阵，则（ ）。 A. E???T不可逆 B. E???T不可逆 C. E?2??不可逆 D. E?2??不可逆
TT【答案】A
【解析】因为??T的特征值为0（n-1重）和1，所以E???T的特征值为1（n-1重）和0，故E???T不可逆。
?200??210??100???????（6）已知矩阵A?021,B?020,C?020，则（ ）。 ??????????001???001???002??与C相似，B与C相似 B. A与C相似，B与C不相似 C. A与C不相似，B与C相似 D. A与C不相似，B与C不相似 【答案】B
【解析】A和B的特征值为2,2,1，但是A有三个线性无关的特征向量，而B只有两个，所依A可对角化，B不可，因此选择B。
（7）设A，B为随机事件，若0?P(A)?1,0?P(B)?1，且P(A|B)?P(A|B)的充分必要条件是（ ）。 A. P(B|A)?P(B|A) B. P(B|A)?P(B|A) C. P(B|A)?P(B|A) D. P(B|A)?P(B|A) 【答案】A 【解析】
由P(A|B)?P(A|B)得此选择A。
P(AB)P(AB)P(A)?P(AB)，即P(AB)?P(A)P(B)，因??P(B)1?P(B)P(B)1n（8）设X1,X2,LXn(n?2)来自总体N(?,1)的简单随机样本，记X??Xi，则下列
ni?1结论中不正确的是（ ）。
A.
?(Xi?1nni??)2服从?2分布
B. 2?(Xi?1n?X1)2服从?2分布
C.
?(Xi?1n2?服从分布 ?X)i2D. n(X??)服从?分布
2【答案】B
【解析】Xi??~N(0,1)，故
?(Xi?1ni??)2~?2(n)，Xn?X1~N(0,2)，因此
Xn?X1Xn?X121n22~N(0,1)，故()~?(1)，故B错误，由S?(Xi?X)2可得，?n?1i?1221(n?1)S??(Xi?X)2~?2(n?1)，X??~N(0,)，则有n(X??)~N(0,1)，因
ni?1222此n(X??)~?(1)。
n二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （9）已知函数f(x)?【答案】0
??12462nn2n?1?x?x?x?L?(?x)?(?1)x，因此 【解析】f(x)???21?xn?0n?0?1(3)，则f(0)=_________。 21?xf'''(x)??(?1)n2n(2n?1)(2n?2)x2n?3，代入可得f(3)(0)?0。
n?0（10）微分方程y''?2y'?3y?0的通解为y=_________。 【答案】e(c1cos2x?c2sin2x)
2【解析】由y''?2y'?3y?0，所以??2??3?0，因此???2i?1，因此通解为：
?xe?x(c1cos2x?c2sin2x)。
（11）若曲线积分
xdy?aydy22D?{(x,y)|x?y?1}内与路径无关，则在区域?Lx2?y2?1a=_________。
【答案】－1 【解析】设P(x,y)?x?ay,Q(x,y)?，因此可得： 2222x?y?1x?y?1?P2xy?Q2axy?P?Q??2,??，根据，因此可得a??1。 ?y(x?y2?1)2?x(x2?y2?1)2?y?x（12）幂级数
??n?1n?1(?1)nx在区间(?1,1)内的和函数S(x)=_________。 n?1【答案】
1 2(1?x)?x1n?1n?1n?1n(?1)nx?[(?1)x]'?()'?。 ?n?1?n?11?x(1?x)2?【解析】
?101???（13）设矩阵A?112，?1,?2,?3为线性无关的3维向量，则向量组A?1,A?2,A?3????011??的秩为_________。 【答案】2
【解析】因为(A?1,A?2,A?3)?A(?1,?2,?3)，而
?101??101??101????011???011?，因此r(A)?2，所以向量组A?,A?,A?A??112123????????011????011????000??的秩2。
（14）设随机变量X的分布函数为F(x)?0.5?(x)?0.5?(分布函数，则EX=_________。 【答案】2 【解析】
x?4)，其中?(x)为标准正态2
2024年考研数学一试题答案
