韦达定理及其应用

韦达定理及其应用

浙江省舟山市定海五中 薛晓波

一、知识要点

1、若一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?中，两根为x1，x2。则x1?x2??caba，

x1?x2?，；补充公式x1?x2??a

2、以x1，x2为两根的方程为x2??x1?x2?x?x1?x2?0 3、用韦达定理分解因式ax2?bx?c?a?x2???bax?c???a?x?x1??x?x2? a?二、例题

1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：

（1）x2?3x?10?0 （2）3x2?5x?1?0 （3）2x?43x?22?0

2、 已知关于x的方程x2?(5k?1)x?k2?2?0，是否存在负数k，使方程的两个实

数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

3、 已知方程x?5x?2?0，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各

根的平方的倒数。

1?11????4、 解方程组?xy12

?xy?2?22

5、 分解因式：

1

（1）3x2?5x?2? （2）4x2?8x?1? 三、练习

1、 在关于x的方程4x2??m?1?x??m?7??0中，（1）当两根互为相反数时m的值；

（2）当一根为零时m的值；（3）当两根互为倒数时m的值

2、 求出以一元二次方程x2?3x?2?0的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。

3、 解方程组?????x?y?3xy?2

4、 分解因式

（1）4x四、聪明题

1、 已知一元二次方程ax?2222?5x?6= （2）2x?2xy?y?

2bx?c?0的两个实数根满足x1?x2?2，a，b，

c分别是?ABC的?A，?B，?C的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若a?c，求?B的度数。

2、在?ABC中，?C?90?，斜边AB=10，直角边AC，BC的长是关于x的方程

x?mx?3m?6?0的两个实数根，求m的值。

2韦达定理的应用：

1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中 字母系数的值

2

4.已知两数的和与积，求这两个数

5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次 方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0

6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2) 题1：

（1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的4倍，则k= ________

（2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0 的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = __________ 解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

= （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a?5b=30ab 解法二：由题意知

∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a?5b=30ab ∵ab=1， a+b=-200

∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

= （ ab +2006a+a2)（ ab +2005b+b2) =a(b +2006+a) ?b( a +2005+b)

=a(2006-2000) ?b(2005-2000) =30ab 解法三：由题意知

∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a?5b=30ab 题2：

已知:等腰三角形的两条边a,b是方程 x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另 一条边c=1， 求:k的值。

浅谈韦达定理在解题中的应用

韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)

3