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题目 具 体 内 容 幂法和反幂法求矩阵特征值 随机产生一对称矩阵，对不同的原点位移和初值(至少取3个)分别使用幂法求计算矩阵的主特征值及主特征向量，用反幂法求计算矩阵的按模最小特征值及特征向量，并比较不同的原点位移和初值说明收敛。 1.认真读题，了解问题的数学原形； 要求 2.选择合适问题求解的数值计算方法； 3.设计程序并进行计算； 4.对结果进行解释说明； 对于幂法和反幂法求解矩阵特征值和特征向量的问题将从问题分析，算法设计和流程图，理论依据，程序及结果进行阐述该问题。 一．问题的分析： 求n阶方阵A的特征值和特征向量，是实际计算中常常碰到的问题，如：采用方法 及结果 说明 机械、结构或电磁振动中的固有值问题等。对于n阶矩阵A，若存在数?和n维向量x满足 Ax=?x （1） 则称?为矩阵A的特征值，x为相应的特征向量。 由高等代数知识可知，特征值是代数方程 |?I-A|=?n+a1?n?1+…+an?1?+an=0 （2） 的根。从表面上看，矩阵特征值与特征向量的求解问题似乎很简单，只需求解方程（2）的根，就能得到特征值?，再解齐次方程组 （?I-A）x=0 （3） 的解，就可得到相应的特征向量。 上述方法对于n很小时是可以的。但当n稍大时，计算工作量将以惊人的速度增大，并且由于计算带有误差，方程（2）未必是精确的特征方程，自然就不必说求解方程（2）与（3）的困难了。幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及对应特征向量的迭代方法，特别是用于大型稀疏矩阵。反幂法是计算海森伯格阵或三角阵的对应一个给定近似特征值的特征向量的有效方法之一。 此文档仅供学习和交流
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二．算法设计及流程图 1、幂法算法 （1）取初始向量u(0)（例如取u(0)=(1,1,…1)T）,置精度要求?，置k=1. （2）计算 v(k)=Au(k?1),mk=max(v(k)), u(k)= v(k)/ mk （3）若| mk= mk?1|
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幂法流程图： 开始 输入A；[m,u,index] =pow(A,1e-6) k=0;m1=0 v=A*u m1=m;k=k+1 [vmax,i]=max(abs(v)) m=v(i);u=v/m abs(m-m1)< 1e-6 index=1;break; 输出：m，u，index 结束 此文档仅供学习和交流
幂法和反幂法求矩阵特征值课程知识讲解
