一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为
__________. 答案：0.3
解： 即 所以
P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?0.9.
2． 设随机变量X服从泊松分布，且P(X答案： 解答：
由P(X?1)?4P(X?2)知e即2?2?1)?4P(X?2)，则P(X?3)?______.
????e???2?2e??
???1?0解得??1，故
23． 设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y?X在区间(0,4)内的概率密度为
fY(y)?_________.
答案：
解答：设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fX(x)则 因为X~U(0,2)，所以FX(?故
另解在(0,2)上函数y?x严格单调，反函数为h(y)?所以
4． 设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为?的指数分布，P(X2y)?0，即FY(y)?FX(y)
y ?1)?e?2，则??_________，
P{min(X,Y)?1}=_________.
答案：?解答：
?2，P{min(X,Y)?1}?1?e-4
P(X?1)?1?P(X?1)?e???e?2，故??2
?1?e?4.
5． 设总体X的概率密度为
???(??1)x,0?x?1,f(x)?????1.
?其它?0,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的极大似然估计量为_________.
答案： 解答： 似然函数为
解似然方程得?的极大似然估计为
$??11nlnxi??1.
ni?1二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若P(C)?1，则AC与BC也独立. （B）若P(C)?1，则AUC与B也独立. （C）若P(C)?0，则AUC与B也独立. （D）若C?B，则
A与C也独立.（）
答案：（D）.
解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），只能选（D）.
事实上由图可见A与C不独立2．设随机变量X~N(0,1),S . A X的分布函数为B ?(x)，则P(|X|?2)的值为 （A）2[1??(2)].（B）2?(2)?1. C （C）2??(2).（D）1?2?(2).（） 答案：（A）
解答：X~N(0,1)所以P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2)
?1??(2)??(?2)?1?[2?(2)?1]?2[1??(2)]应选（A）.
3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是 （A）X与Y独立.（B）D(X?Y)?DX?DY.
（C）D(X?Y)?DX?DY.（D）D(XY)?DXDY.（）
C）都是正确的，（答案：（B）
?0 解答：由不相关的等价条件知，?xy?0?cov（x，y）应选（B）.
4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为 若X,Y独立，则?,?的值为
（A）??29,（C）??16,??19.（A）??19,??16（D）??518,??29. ??118.（）
答案：（A）
解答：若X,Y独立则有 X ??P(X?2,Y?2)?P(X?2)P(Y?2) Y ???21，?? 99故应选（A）. 5．设总体X的数学期望为?,X1,X2,L,Xn为来自X的样本，则下列结论中 正确的是 （A）X1是?的无偏估计量.（B）X1是?的极大似然估计量. （C）X1是?的相合（一致）估计量.（D）X1不是?的估计量.（） 答案：（A） 解答：
EX1??，所以X1是?的无偏估计，应选（A）.
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个
次品被误认为是合格品的概率为0.02，
求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设A?‘任取一产品，经检验认为是合格品’
B?‘任取一产品确是合格品’
则（1）P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)
P(AB)0.9?0.95??0.9977. （2）P(B|A)?P(A)0.857四、（12分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数， 求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解：X的概率分布为
X即
P02712515412523612538 125X的分布函数为
2318DX?3???.
5525五、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1}上服从均匀分布.
求（1）(X,Y)关于X的边缘概率密度；（2）Zy 解：（1）(X,Y)的概率密度为
1 ?X?Y的分布函数与概率密度.
x+y=1 D D1 0 z x+y=z 1 x （2）利用公式
fZ(z)??????f(x,z?x)dx
?2,0?x?1,0?z?x?1?x?2,0?x?1,x?z?1.??其中f(x,z?x)??
0,其它0,其它.??当z?0或z?1时fZ(z)?0
z 0?z?1时fZ(z)?2?dx?2x0?2z
0z=x zz故Z的概率密度为 Z的分布函数为 或利用分布函数法
x 六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标
X和纵坐标Y相互独立，且222均服从N(0,2)分布.求（1）命中环形区域D?{(x,y)|1?x?y?2}的概率；（2）命中点到
目标中心距离Z?X2?Y2的数学期望.
y X,Y)?D}?解：（1）P{??f(x,y)dxdy
D2????e12?r28rd(?)??e80 1 22?r28?e?e；
1x 18?122 2（2）EZ?E(X?Y)??r28????????????x2?y2?r21e8??x2?y28dxdy
??re??0??0e?r282?dr?2?????1?8edr?2?. 2?2七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N(?,?)，今抽取容量为16的样本，测得
样本均值x?10，样本方差s2?0.16.（1）求?的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设
H0:?2?0.1（显着性水平为0.05）.
（附注）t0.05(16)?1.746,t0.05(15)?1.753,t0.025(15)?2.132, 解：（1）?的置信度为1??下的置信区间为
所以?的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）H0:??0.1的拒绝域为??2222??(n?1).
15S22(15)?24.996 ???15?1.6?24，?0.050.122因为??24?24.996??0.05(15)，所以接受H0.
《概率论与数理统计》期末考试试题（A）
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
