课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例
层级一 学业水平达标
1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，132
原油温度(单位：℃)为f(x)＝x－x＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值
3是( )
A．8 C．－1
D．－8
2
2
解析：选C 瞬时变化率即为f′(x)＝x－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)－1，又
x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.
2．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
cm C．32 cm
2
2
B．4 cm D．23 cm
2
2
解析：选D 设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，
1?x?231?12－x?233?2x8x?，∴S′(x)＝3?4x－8?. －＋16则S(x)＝×??×＋×?×＝?2????32?3?22?3?4?94?93??令S′(x)＝0，得x＝6， 当x∈(0,6)时，S′(x)＜0， 当x∈(6,12)时，S′(x)＞0， ∴当x＝6时，S(x)最小． ∴S＝
83?1222××6－×6＋16?＝23(cm)． ??34?9?
2
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加1001??400x－x20≤x≤400，
2元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝?
??80 000x>400，大时，每年生产的产品是( )
A．100 C．200
B．150 D．300
则总利润最
解析：选D 由题意，总成本为：C＝20 000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝
x??300x－－20 000，0≤x≤400，
2?
??60 000－100x，x>400，
2
??300－x，0≤x≤400，P′＝?
?－100，x>400，?
令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，
P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．
4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
3
B．2V
V
4V3x2
解析：选C 设底面边长为x，则高为h＝
4V，
∴S表＝3×
3x×x＋2×2
3243V32
x＝＋x， 4x2
43V∴S表′＝－2＋3x，
x3
令S表′＝0，得x＝4V.
3
经检验知，当x＝4V时，S表取得最小值．
5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( ) A．R
B．2R
R R
2
2
2
2
2
解析：选C 设圆锥高为h，底面半径为r，则R＝(h－R)＋r，∴r＝2Rh－h，∴V1π2π3444R222
＝πrh＝h(2Rh－h)＝πRh－h，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R. 当0 时，V′>0；当 33 6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元． 解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆． 总利润L＝－＋2(15－x) ＝－＋＋30(x≥0)． 令L′＝－＋＝0，得x＝. ∴当x＝10时，L有最大值. 答案： 7．如图，内接于抛物线y＝1－x的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________． 2 x??x??x解析：设CD＝x，则点C坐标为?，0?，点B坐标为?，1－?， 4??2??2 ∴矩形ABCD的面积 2 2 ?x?S＝f(x)＝x·?1－? ?4? ＝－＋x，x∈(0,2)． 432 由f′(x)＝－x＋1＝0， 4得x1＝－ 23 (舍)，x2＝ 2， 3 x3 ∴x∈?0， ?? 2? ?时，f′(x)＞0，f(x)是递增的， 3? ?2，2?x∈??时，f′(x)＜0，f(x)是递减的， ?3? 当x＝ 2 43 时，f(x)取最大值. 93 43 答案： 9 23 8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x，又产品单价的平方与产品件 75数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件． 解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即ax＝k，由题知 2 a＝ 500 . x23 总利润y＝500x－x－1 200(x>0)， 75 y′＝ 25022 －x，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时， x25 y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时， y取最大值． 答案：25 9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ k3x＋5
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