圆锥曲线光学性质的证明及应用初探
———源于课本一份《阅读材料》的探究反思
内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学：王珏 指导教师：张红
学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料引起了同
学们的兴趣，在老师的指导下，我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，而且进一步对它进行了证明和探究，并对它在 数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。课后我经过反思与整理，写成此文。 一、 圆锥曲线的光学性质
1．1 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)
椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在
F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．
1．2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．
双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．
1．3 抛物线的光学性质 ： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）
抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一
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般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．
图1.1
? F2 O ? F1 B D A F2 ? ? F1 ?
要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。 二、问题转化及证明
2．1圆锥曲线的切线与法线的定义
设直线l与曲线c交于P，Q两点，当直线l连续变动时，P，Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P，Q重合为一点M,此时直线l称为曲线c在点M处的切线，过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。 此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明
图1.2 图1.3
x2y2预备定理 1.若点P(x0,y0)是椭圆2?2?1上任一点，则椭圆过该点的切
abx0xy0y线方程为：2?2?1。
ab 2
y2x2证明：由2?1?2ba1°当xx2?y?b(1?2)??①
a220??a时，过点P的切线斜率k一定存在，且k?y'|x?x
2b2∴对①式求导：2yy'??2x0
a∴k?y'|x?x02?bx0?bx0(x?x0)????② ?2∴切线方程为y?y0??2ay0ay02x2y2∵点P(x0,y0)在椭圆2?2?1上，
ab22x0xy0yx0y0故 2?2?1 代入②得2?2?1????③
abab而当x??a时，y0?0 切线方程为x??a，也满足③式
x0xy0y故2?2?1是椭圆过点P(x0,y0)的切线方程. abx2y2预备定理2. 若点P(x0,y0)是双曲线2?2?1上任一点，则双曲线过该
abx0xy0y点的切线方程为：2?2?1
ab2y2x222x证明：由2?2?1?y?b(2?1)??①
baa1°当x??a时，过点P的切线斜率k一定存在，且k2bx02bk?y'|?x?x0∴对①式求导：2yy'?2x0∴ a2y0a2?y'|x?x0
b2x0∴切线方程为y?y0??2(x?x0)????②
ay0x2y2∵点P(x0,y0)在双曲线2?2?1上，
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圆锥曲线光学性质的证明及应用初探-奋斗中学
